[論文レビュー] Lattice paths and branched continued fractions. III. Generalizations of the Laguerre, rook and Lah polynomials

Bishal Deb, Alexander Dyachenko+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 18, 2023

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ひとこと要約

本稿では、辺に重みが付いたラゲール有向グラフにおける格子路を通じて、ラゲール、ルーク、ラハ多項式の5変数一般化を導入し、生成行列と指数型ライオーダン配列を用いてその係数ごとのハンケル全正性を証明する。主な結果として、一般化された三重対角比較定理を拡張し、分岐連分数および修正ベッセル関数に関連する多重直交多項式と結びついた、広範なクラスの四重対角生成行列の全正性を確立する。

ABSTRACT

We introduce a triangular array $\widehat{\sf L}^{(α)}$ of 5-variable homogeneous polynomials that enumerate Laguerre digraphs (digraphs in which each vertex has out-degree 0 or 1 and in-degree 0 or 1) with separate weights for peaks, valleys, double ascents, double descents, and loops. These polynomials generalize the classical Laguerre polynomials as well as the rook and Lah polynomials. We show that this triangular array is totally positive and that the sequence of its row-generating polynomials is Hankel-totally positive, under suitable restrictions on the values given to the indeterminates. This implies, in particular, the coefficientwise Hankel-total positivity of the monic unsigned univariate Laguerre polyomials. Our proof uses the method of production matrices as applied to exponential Riordan arrays. Our main technical lemma concerns the total positivity of a large class of quadridiagonal production matrices; it generalizes the tridiagonal comparison theorem. In some cases these polynomials are given by a branched continued fraction. Our constructions are motivated in part by recurrences for the multiple orthogonal polynomials associated to weights based on modified Bessel functions of the first kind $I_α$.

研究の動機と目的

• ラゲール有向グラフの重み付き列挙を可能にする、5変数の同次多項式の三角配列への古典的ラゲール、ルーク、ラハ多項式の一般化を目的とする。
• 適切な無作為変数の制限のもとで、これらの一般化多項式の係数ごとのハンケル全正性を確立すること。
• 三重対角行列の比較定理を一般化し、四重対角形式への生成行列理論を拡張すること。
• この構成を第一種修正ベッセル関数に関連する多重直交多項式と結びつけること。
• 特定の多変数母関数が分岐連分数の係数として現れることを示すこと。

提案手法

• 著者らは、ピーク、ボウル、二重上行、二重下行、ループのそれぞれに別々の重みを割り当てたラゲール有向グラフを数える5変数多項式配列 $\widehat{\sf L}^{(\alpha)}$ を定義する。
• これらの多項式の母関数をモデル化するために、指数型ライオーダン配列と二項係数行生成行列を用いる。
• 主な技術的道具として、多項式の再帰構造を符号化するための、特に新規の四重対角形式の生成行列が用いられる。
• 全正性の証明には、三重対角行列から四重対角行列への一般化された比較定理が用いられ、古典的結果を高次帯域行列へ拡張する。
• ハンケル全正性および部分的に順序付けられた可換環における係数ごとの全正性の理論を活用する。
• 無作為変数を特殊化することで、修正ベッセル関数 $I_\alpha$ を根拠とする重みと一致させる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的ラゲール、ルーク、ラハ多項式は、有向グラフにおける複数の辺タイプを捉える多変数枠組みへ一般化可能か？
• RQ2 提案された5変数多項式配列は、自然なパrameter制限のもとで係数ごとのハンケル全正性を示すか？
• RQ3 三重対角行列の結果を一般化し、新しいクラスの四重対角生成行列の全正性を確立できるか？
• RQ4 これらの一般化多項式の母関数に分岐連分数表現が存在するか？
• RQ5 これらの多項式と第一種修正ベッセル関数に基づく重みと関連する多重直交多項式との明確な関係は何か？

主な発見

• 5変数多項式配列 $\widehat{\sf L}^{(\alpha)}$ は、ピーク、ボウル、二重上行、二重下行、ループの5種類の辺タイプに対して別々の重みを割り当てることで、古典的ラゲール、ルーク、ラハ多項式を一般化する。
• 配列 $\widehat{\sf L}^{(\alpha)}$ の行生成多項式列は、適切な無作為変数の制限のもとでハンケル全正性を示し、これにより係数ごとのハンケル全正性が保証される。
• 四重対角生成行列のための新しい比較定理が証明され、古典的三重対角比較定理を一般化し、高次帯域設定における全正性の証明を可能にする。
• モニックで符号なしの一変数ラゲール多項式が、係数ごとのハンケル全正性を示すことが示され、既知の結果がより広い多項式クラスへ拡張される。
• 一般化多項式の母関数が、特に $m=2$ の $m$-ジャコビ・ロジャース多項式の文脈で、分岐連分数の係数として現れることを示した。
• この構成は、第一種修正ベッセル関数 $I_\alpha$ を根拠とする重みと関連する多重直交多項式と結びつけられ、これらの特殊関数に対する新しい組合せ的解釈を提供する。