[論文レビュー] Lattice quantum codes and exotic topological phases of matter

Jeongwan Haah|arXiv (Cornell University)|May 29, 2013

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 46被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、有限温度における自己修正型量子メモリを実現する三次元ラティススピン模型を導入する。この模型は、熱的誤りを局在化するための巨視的エネルギー障壁を活用しており、特異なトポロジカルオーダーを示し、移動不能な anyon と、系サイズの複素数論的関数としてスケーリングする基底状態の degeneracy を有する。これにより、メモリ寿命が逆温度の二乗に比例して指数関数的に増加し、従来のトポロジカルコードを上回る性能を示す。

ABSTRACT

This thesis addresses whether it is possible to build a robust memory device for quantum information. A three-dimensional gapped lattice spin model is found which demonstrates for the first time that a reliable quantum memory at finite temperature is possible, at least to some extent. When quantum information is encoded into a highly entangled ground state of this model and subjected to thermal errors, the errors remain easily correctable for a long time without any active intervention, because a macroscopic energy barrier keeps the errors well localized. As a result, stored quantum information can be retrieved faithfully for a memory time which grows exponentially with the square of the inverse temperature. In contrast, for previously known types of topological quantum storage in three or fewer spatial dimensions the memory time scales exponentially with the inverse temperature, rather than its square. This spin model exhibits a previously unexpected topological quantum order, in which ground states are locally indistinguishable, pointlike excitations are immobile, and the immobility is not affected by small perturbations of the Hamiltonian. The degeneracy of the ground state, though also insensitive to perturbations, is a complicated number-theoretic function of the system size, and the system bifurcates into multiple noninteracting copies of itself under real-space renormalization group transformations. The degeneracy, the excitations, and the renormalization group flow can be analyzed using a framework that exploits the spin model's symmetry and some associated free resolutions of modules over polynomial algebras.

研究の動機と目的

• アクティブな誤り訂正を伴わず、有限温度でも信頼性高く動作するフォールトトレラント量子メモリを設計すること。
• 従来のトポロジカル量子コードが逆温度に比例して指数関数的にスケーリングするメモリ寿命にとどまることの制限を克服すること。
• 新規のトポロジカルオーダーを有するギャップを持つラティススピン模型を構築し、移動不能な anyon と非自明な基底状態の degeneracy を実現すること。
• 縮重群変換技術と代数的手法を用いて、熱ノイズ下での量子情報の安定性を分析すること。
• 量子情報が逆温度 β に対して exp(β²) のスケーリングで保持可能であることを示し、以前の境界を上回ること。

提案手法

• 立方格子上に局所的かつ可換な相互作用を持つ三次元安定化ハミルトニアンを構築する。
• 拡張されたストリング型励起状態の生成を防ぐ「ストリングなし」則を特定し、点状 anyon の不動性を強制する。
• 特に多項式環上の自由分解とグレブナー基底法を用いた代数的手法により、基底状態の degeneracy を計算し、トポロジカルオーダーを分析する。
• 実空間における縮重群変換を適用し、粗粒度化の下でモデルが非相互作用的コピーに分岐することを示す。
• 縮重群デコーダを用いて、熱的ノイズ下での誤り訂正閾値と訂正可能性を分析する。
• 熱的分配関数とリンブレジアンダイナミクスを分析し、誤りの蓄積とメモリ寿命を定量的に評価する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アクティブな誤り訂正を伴わず、有限温度でも自己修正型量子メモリを実現できるか？
• RQ2 どのようなトポロジカルオーダーが移動不能な anyon と巨視的エネルギー障壁を支えるか？
• RQ3 ギャップを持ち、並進不変性を持つスピン模型において、基底状態の degeneracy は系サイズに対してどのようにスケーリングするか？
• RQ4 縮重群デコーダはトポロジカル安定化コードにおいて誤り訂正の閾値を達成できるか？
• RQ5 自己修正型量子メモリにおいて、メモリ寿命の正確な逆温度スケーリングは何か？

主な発見

• モデルは熱的誤りの拡散を防ぐ巨視的エネルギー障壁を示し、誤りの拡散を局在化させ、長期的な誤り訂正を可能にする。
• 基底状態に格納された量子情報は、逆温度 β に対して exp(β²) のスケーリングで保たれ、従来のモデルの exp(β) スケーリングを著しく上回る。
• 基底状態の degeneracy は、有限体上の多項式イデアルの構造に依存する複雑な数論的関数として系サイズに依存する。
• 「ストリングなし」則のおかげで、移動不能な anyon が実現され、拡張されたストリング演算子の生成が禁止され、摂動に対してトポロジカルオーダーが安定化される。
• 実空間における縮重群変換の下、モデルは複数の非相互作用的コピーに分裂し、非自明な縮重群フローを示している。
• 縮重群デコーダは誤り訂正の閾値に到達し、熱的ノイズ下でもこのスキームの実現可能性を示している。