[論文レビュー] Lattice Zariski k-ples of plane sextic curves and Z-splitting curves for double plane sextics

Ichiro Shimada|ArXiv.org|Mar 19, 2009

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 19被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、同一の特異点型および成分次数を持つが、位相的または格子論的不変量が異なる、単純な6次曲線の配置（lattice Zariski k-ples）を研究するため、二重平面6次曲線におけるZ-スプリット曲線を導入する。Z-スプリット曲線とその格子型を分析することにより、特異化に関してまで考慮した場合の3次以下のZ-スプリット曲線を分類し、等奇性変形を超えた埋め込み型を区別するための計算的枠組みを、Néron–Severi格子を用いて提供する。

ABSTRACT

A simple sextic is a reduced complex projective plane curve of degree 6 with only simple singularities. We introduce a notion of Z-splitting curves for the double covering of the projective plane branching along a simple sextic, and investigate lattice Zariski k-ples of simple sextics by Z-splitting curves. We define specialization of lattice types, and classify all lattice types of Z-splitting curves of degree less than or equal to 3 up to specializations.

研究の動機と目的

• 等奇性変形を超えて、単純な特異点をもつ複素平面6次曲線の格子論的枠組みを構築すること。
• 射影平面の単純6次曲線上に分岐する2重被覆に対するZ-スプリット曲線の定義とその研究。
• 特異化に関してまで考慮した場合の3次以下のZ-スプリット曲線の格子型を分類し、埋め込み型を区別するための計算的ツールを提供すること。
• Z-スプリット曲線と6次曲線の補集合の位相的性質、特に基本群の不一致との関係を確立すること。
• 正標数における特異的および非還元的ケースを統一的に扱う理論の可能性を示唆する、Z-スプリット円錐の退化を探索すること。

提案手法

• 二重平面6次曲線におけるZ-スプリット曲線の概念を導入し、関連するK3表面のNéron–Severi格子を特定の方法で分割するものとして定義する。
• 単純6次曲線上に分岐するP²の2重被覆として得られるK3表面のNéron–Severi格子を用いて、格子同値関係 ∼lat を定義する。
• Z-スプリット曲線の格子型とその特異化を、クラス順序や次数などの不変量を用いて定義する。
• K3表面における周期写像および格子論の理論を応用し、Z-スプリット曲線の構造を分析する。
• Yang [32] および Degtyarev [11] の単純6次曲線の分類を用いて、アルゴリズム的に格子型を同定する。
• 特異標数2および奇標数におけるZ-スプリット円錐の退化を研究し、特異的K3表面および2進線形符号と関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 等奇性変形に関して同型でないが、同一の配置型をもつ単純6次曲線を区別するために、Z-スプリット曲線はどのように利用可能か？
• RQ2 3次以下のZ-スプリット曲線の完全な格子型は何か？ また、それらはどのように退化するか？
• RQ3 正標数、特に標数2におけるZ-スプリット曲線は、特異的K3表面のモジュライ空間の層化を記述するために用いられるか？
• RQ4 Z-スプリット曲線構造は、6次曲線の補集合の基本群の差をどの程度検出できるか？
• RQ5 Z-スプリット円錐の標準的退化として、二重直線への退化が存在するか？ また、それらは格子論的分類にどのような意味を持つのか？

主な発見

• 3次以下のZ-スプリット曲線のすべての格子型が特異化に関して分類され、可能な配置の完全なリストが得られた。
• 3つの既約成分（それぞれが円錐）からなる単純6次曲線に対しては、6つのZ-スプリット円錐が存在し、それぞれが1つの接点（tacnode）に対応し、他の2つの成分に対しても別の接点で接する。
• 各Z-スプリット円錐のクラス順序は4であり、6つのZ-スプリット円錐と6つのtacnodeの間には一対一対応が存在する。
• (2,6)-トーラス型6次曲線が(1,6)-トーラス型に退化する場合、Z-スプリット円錐 {f=0} が f→l² に伴い {l=0} に退化することが観察された。
• z₂(λ)=1 を持つ格子型から z₁(λ′)=1 を持つ型への推測的特異化が提示され、Z-スプリット円錐が二重直線に退化するものとして想定され、ADE型の隣接関係は 2Aₗ → A₂ₗ₊₁ に従う。
• Z-スプリット曲線の理論は正標数にまで拡張可能であり、特に標数2では、長さ21の2進線形符号およびArtin不変量による特異的K3表面の層化と関連している。