[論文レビュー] Lattices in crystalline representations and Kisin modules associated with iterate extensions

Yoshiyasu Ozeki|arXiv (Cornell University)|Sep 15, 2016

Advanced Algebra and Geometry参考文献 12被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、Cais-Liuの$f$-反復拡張の一般化された設定において、結晶的$(\varphi,\hat{G})$-加群の理論を確立し、Kisinの枠組みを拡張して、結晶的表現における$G$-安定的格子をKisin加群に追加構造を加えて分類する。主な結果は、$e(r-1) < n_f(p-1)/p$ の条件下で、捩れ結晶的表現に対する制限関手の全忠実性定理であり、$f(u) = u^p$ の場合の先行結果を一般化し、[CL]における予想を裏付ける。

ABSTRACT

Cais and Liu extended the theory of Kisin modules and crystalline representations to allow more general coefficient fields and lifts of Frobenius. Based on their theory, we classify lattices in crystalline representations by Kisin modules with additional structures under a Cais-Liu's setting. Furthermore, we give a geometric interpretation of Kisin modules of height one in terms of Dieudonné crystals of $p$-divisible groups, and show a full faithfulness theorem for a restriction functor on torsion crystalline representations.

研究の動機と目的

• CaisとLiuが定義した$f$-反復拡張の一般化された設定において、$(\varphi,\hat{G})$-加群の理論を結晶的表現へ拡張すること。
• Cais-Liuの枠組みのもとで、追加構造を備えたKisin加群を用いて、結晶的$\mathbb{Q}_p$-表現における$G$-安定的格子を分類すること。
• 高さ1のKisin加群を、$p$-可除群のDieudonné加群の観点から幾何的解釈を与えること。
• 捩れ結晶的表現に対する制限関手の全忠実性定理を確立し、$f(u) = u^p$ の場合の先行結果を一般化すること。
• Cais-Liuの[CL, Remark 5.2.3およびSection 6.3]における、$F = \mathbb{Q}_p$ の場合の制限関手の忠実性に関する予想を解決すること。

提案手法

• Cais-Liuの$f$-反復拡張$K_{\underline{\pi}}/K$の設定へ、Liuの$(\varphi,\hat{G})$-加群理論を適応する。ここで$f(u) \in \mathbb{Z}_p[u]$ は$f(u) \equiv u^p \mod p$ を満たす。
• 高さ$r$の追加条件を備えた$(\varphi,\hat{G})$-加群を導入・研究し、このような加群の圏と、Hodge-Tate重みが$[0,r]$ に含まれる結晶的表現における$G$-安定的格子の圏との間で反同値を確立する。
• Kisin加群の構造とその関連するガロア表現を分析するために、$\mathrm{Max}^r_{\mathfrak{S}_\infty}$ 圏における最大対象の理論を用いる。
• Dieudonné加群の理論を応用し、$p$-可除群を介して高さ1のKisin加群を幾何的に解釈する。
• 制限関手$\mathrm{Rep}^{r,\mathrm{cris}}_{\mathrm{tor}}(G) \to \mathrm{Rep}_{\mathrm{tor}}(G_{\underline{\pi}})$ を用い、$e(r-1) < n_f(p-1)/p$ の条件下で全忠実性を証明。付加的性質として、付加的評価とモジュールの最大性を活用する。
• 同型$T|_{G_{\underline{\pi}}} \simeq \hat{T}(\hat{\mathfrak{M}}(\mathfrak{n}))|_{G_{\underline{\pi}}}$ と、ホモセットと忘却関手を含む可換図式を用いて、ホモセットの全単射を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 CaisとLiuの$f$-反復拡張の一般化された設定において、$(\varphi,\hat{G})$-加群の理論を結晶的表現へ拡張できるか？
• RQ2 異なる$f(u)$の選択と、$\{\pi_n\}$ の整合的系に対応するKisin加群の関係は何か？
• RQ3 制限関手$\mathrm{Rep}^{r,\mathrm{cris}}_{\mathrm{tor}}(G) \to \mathrm{Rep}_{\mathrm{tor}}(G_{\underline{\pi}})$ が全忠実となる条件は何か？
• RQ4 高さ1のKisin加群は、どのようにDieudonné加群の観点から幾何的に解釈できるか？
• RQ5 全忠実性結果は、特に$er < p-1$ のとき、より弱い仮定のもとでも成り立つか？

主な発見

• 高さ$r$の追加条件を備えた$(\varphi,\hat{G})$-加群の圏と、Hodge-Tate重みが$[0,r]$ に含まれる結晶的$\mathbb{Q}_p$-表現における$G$-安定的格子の圏との間で反同値が確立された。
• 条件$e(r-1) < n_f(p-1)/p$ の下で、制限関手$\mathrm{Rep}^{r,\mathrm{cris}}_{\mathrm{tor}}(G) \to \mathrm{Rep}_{\mathrm{tor}}(G_{\underline{\pi}})$ は全忠実である。これは、$f(u) = u^p$ の場合の先行結果を一般化する。
• $f(u) = u^p$ の場合、結果は[Oz2]の定理1.2を回復し、本稿では$F = \mathbb{Q}_p$ の場合に[CL, Remark 5.2.3およびSection 6.3]における予想を確認する。
• 高さ1のKisin加群が、$p$-可除群のDieudonné加群に対応することを示し、幾何的解釈を与えた。
• $er < p-1$ の追加仮定のもとで、全忠実性条件を改善できる。すなわち、$e(r-1) < n_f(p-1)/p$ かつ$er < p-1$ であれば、制限関手は全忠実であり、すべての捩れKisin加群が高さ$r$で最大であるため、証明が簡素化される。
• 全忠実性の証明は、ホモセットを含む可換図式に依拠しており、下部と右側の矢印の全単射（定理4.13および4.8による）が、上部の矢印の全単射を示し、結果として全忠実性が証明される。