[論文レビュー] On F-crystalline representations

Bryden Cais, Tong Liu|arXiv (Cornell University)|Feb 5, 2015

Advanced Algebra and Geometry被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、Kisinのクリスタリン表現およびKisinモジュールの理論を、任意の有限拡張 $F/\mathbb{Q}_p$ および一般のべき級数 $f(u)$ に拡張し、$K_\infty/K$ という新たな無限次、完全に狂乱的であるような拡張を構成する。この拡張に対して、制限函手 $V \mapsto V|_{G_{K_\infty}}$ が $F$-クリスタリン表現の圏上で完全忠実であることを示す。また、一般化されたフロベニウス持ち上げを備えた高さ1のKisinモジュールを用いて、$F$-バロウティ-テイト群の分類を確立する。

ABSTRACT

We extend the theory of Kisin modules and crystalline representations to allow more general coefficient fields and lifts of Frobenius. In particular, for a finite and totally ramified extension $F/\mathbb Q_p$, and an arbitrary finite extension $K/F$, we construct a general class of infinite and totally wildly ramified extensions $K_\infty/K$ so that the functor $V\mapsto V|_{G_{K_\infty}}$ is fully-faithfull on the category of $F$-crystalline representations $V$. We also establish a new classification of $F$-Barsotti-Tate groups via Kisin modules of height 1 which allows more general lifts of Frobenius.

研究の動機と目的

• 任意の有限拡張 $F/\mathbb{Q}_p$ に対して、Kisinの半安定表現における $\mathbb{Z}_p$-格の理論を $F$-クリスタリン表現に一般化すること。
• べき級数 $f(u)$ によって定義されるフロベニウス反復系 $\{\pi_n\}$ を用いて、$p^n$-乗根の単位根から得られる古典的 $K_\infty$ を置き換える、新たな無限次、完全に狂乱的であるような拡張 $K_\infty/K$ を構成すること。
• $F$-クリスタリン表現の圏上で、Hodge-Tate重量が $\{0,\dots,r\}$ に含まれる場合に制限函手 $V \mapsto V|_{G_{K_\infty}}$ が完全忠実であることを確立すること。
• $F$-バロウティ-テイト群を、一般化されたフロベニウス構造を備えた高さ1のKisinモジュールを用いて分類すること。
• $(\varphi, \hat{G})$-モジュールおよびBreuilの理論を、より一般の係数体およびフロベニウス持ち上げに拡張するための基盤的道具を構築すること。

提案手法

• $\mathfrak{S}_F = \mathcal{O}_F[[u]]$ 上に、$W(k)$ 上で $q$ 乗フロベニウスとして作用し、$\mathcal{O}_F$ 上では自明に作用し、$u$ を $f(u)$ に送る一般化されたフロベニウス自己準同型 $\varphi$ を定義する。ただし $f(u) \equiv u^q \mod \mathfrak{m}_F$ である。
• $f(\pi_n) = \pi_{n-1}$ を満たす整合性のある系 $\{\pi_n\}$ を用いて、$K_{\underline{\pi}} = \bigcup_n K(\pi_n)$ を構成する。これは非ガロア的で、完全に狂乱的である拡張である。
• $E(u)$-高さ $r$ のKisinモジュールを、$\mathfrak{S}_F$-自由有限型の $\mathfrak{M}$ とし、その $\varphi$-半線形自己準同型 $\varphi_\mathfrak{M}$ の線形化の余核が $E(u)^r$ で消えるものとして定義する。
• $T_{\mathfrak{S}}(\mathfrak{M})$ の函手を用いて、Kisinの構成を一般化し、$F$-クリスタリン表現の $\mathcal{O}_F$-格にKisinモジュールを対応付ける。
• $G_{K_\infty}$-安定な格 $T \subset V$ に対して、$\mathfrak{S}_F$-線形同型 $T_{\mathfrak{S}}(\mathfrak{M}) \simeq T$ を構成することで、$V \mapsto \mathfrak{M}$ の写像が $F$-クリスタリン表現の圏上で完全忠実であることを証明する。
• 異なる $f(u)$ に対して得られるKisinモジュールは、$W(R)_F$ へのベースチェンジを施すと同型になるだろうと予想する。これは古典的状況における比較結果を一般化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Kisinの半安定表現における $\mathbb{Z}_p$-格の理論は、任意の有限拡張 $F/\mathbb{Q}_p$ に対して $F$-クリスタリン表現に拡張可能だろうか？
• RQ2 $K_\infty$ が $u^p$ の代わりに一般のべき級数 $f(u)$ を用いて構成された場合、制限函手 $V \mapsto V|_{G_{K_\infty}}$ は $F$-クリスタリン表現に対して完全忠実のままであろうか？
• RQ3 フロベニウス構造が古典的状況を超えて一般化された場合、高さ1のKisinモジュールを用いて $F$-バロウティ-テイト群を分類可能だろうか？
• RQ4 $F$ と $\pi$ を固定したとき、異なる $f(u)$ に対して得られるKisinモジュールどうしの関係はいかなるものだろうか？
• RQ5 Kisinモジュールの torsion 理論は、この一般化された設定に拡張可能だろうか？また、潜在的クリスタリン表現の還元に関する既知の結果を回復できるだろうか？

主な発見

• Hodge-Tate重量が $\{0,\dots,r\}$ に含まれる $F$-クリスタリン表現の圏上で、制限函手 $V \mapsto V|_{G_{K_\infty}}$ が完全忠実である。これはKisinの古典的結果を一般化する。
• $F$-クリスタリン表現 $V$ が $G_{K_\infty}$-安定な $\mathcal{O}_F$-格 $T$ を持つとき、$T_{\mathfrak{S}}(\mathfrak{M}) \simeq T$ を満たす $E(u)$-高さ $r$ のKisinモジュール $\mathfrak{M}$ が存在する。これはKisinの構成を一般の $F$ および $f(u)$ に拡張する。
• $\mathcal{O}_K$ 上の $F$-バロウティ-テイト群の圏は、一般化されたフロベニウス構造を備えた高さ1の $\mathfrak{S}_F$-上でのKisinモジュールの圏と反同値である。
• この構成は既知の状況を回復する：$f(u) = u^p$ のとき、Kisinの理論に還元される。$v_F(a_1) = 1$ のとき、Kisin-Renのルビン＝テイトの場合を含む。
• 本稿では、異なる $f(u)$ に対して得られるKisinモジュールが、$W(R)_F$ へのベースチェンジを施すと同型になるだろうと予想する。これは普遍的な比較同型を示唆する。
• この理論は、Breuilによる半安定表現の分類および torsion Kisin モジュールの理論を拡張するための枠組みを提供するが、一般の $f(u)$ に対してはモノドロミー作用素の取り扱いは未解決の課題のままである。