[論文レビュー] Law of Large Numbers and Central Limit Theorems by Jack Generating Functions

Jiaoyang Huang|arXiv (Cornell University)|Jul 26, 2018

Random Matrices and Applications参考文献 31被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、N個の粒子からなる系が正の整数上に存在する場合、その大数の法則および中心極限定理が、Jack生成関数の1近傍におけるgerm（局所的性質）によって決定されることを確立している。Nazarov-Sklyanin作用素とJack対称関数を固有関数として用いることで、モーメント母関数とJack生成関数の対数の微分との関係を確立している。主な結果は、漸近的挙動（例えば、決定的極限への収束、ガウス型フラクチュエーション）が、Jack生成関数の対数の偏微分の収束に正確に依存することである。

ABSTRACT

In a series of papers [22-24] by Bufetov and Gorin, Schur generating functions as the Fourier transforms on the unitary group $U(N)$, are introduced to study the asymptotic behaviors of random $N$-particle systems. We introduce and study the Jack generating functions of random $N$-particle systems. In special cases, this can be viewed as the Fourier transforms on the Gelfand pairs $(GL_N(\mathbb R), O(N))$, $(GL_N(\mathbb C), U(N))$ and $(GL_N(\mathbb H), Sp(N))$. Our main results state that the law of large numbers and the central limit theorems for such particle systems, is equivalent to certain conditions on the germ at unity of their Jack generating functions. Our main tool is the Nazarov-Sklyanin operators [50], which have Jack symmetric functions as their eigenfunctions. As applications, we derive asymptotics of Jack characters, prove law of large numbers and central limit theorems for the Littlewood-Richardson coefficients of zonal polynomials, and show that the fluctuations of the height functions of a general family of nonintersecting random walks are asymptotically equal to those of the pullback of the Gaussian free field on the upper half plane.

研究の動機と目的

• GL_N(R)、GL_N(C)、GL_N(H)とそれぞれのコンパクト部分群を含むGelfandペアの設定において、古典的確率論におけるFourier解析的手法を中心極限定理へと拡張すること。
• Z_{>0} 上のランダムN粒子系に対して、Jack生成関数を一般化されたFourier変換として用いるフレームワークを構築すること。
• Jack生成関数の1近傍における漸近的挙動を用いて、大数の法則および中心極限定理を特徴付けること。
• Bufetov や Gorin が得たシュール生成関数に関する先行結果（例：シュール生成関数）を、パrameter θ を持つより広いクラスのJack多項式へと統一的かつ一般化すること。
• このフレームワークを応用して、Jackキャラクターの漸近的挙動、ゾナル多項式のリトルウッド＝リチャードソン係数、非交差確率ウォークにおける高さ関数のフラクチュエーションの漸近的挙動を導出すること。

提案手法

• Gelfandペア (GL_N(R), O(N))、(GL_N(C), U(N))、(GL_N(H), Sp(N)) におけるFourier変換としてのJack生成関数を導入し、シュール生成関数を一般化する。
• Jack対称関数を固有関数とするNazarov-Sklyanin作用素を用い、モーメント母関数とJack生成関数の対数の微分との関係を確立する。
• Cauchyの恒等式とスケーリングされたJack対称関数を用いて、生成関数をプレーン・プーリー対称関数の形に表現する。
• p = 1^N における log F_N の偏微分の収束を調べることで、Jack生成関数の1近傍におけるgermを分析する。
• 分割と多項係数に関する組合せ的恒等式を用い、粒子系のモーメントと生成関数の微分との関係を確立する。
• 大数の法則とCLTがそれぞれ、log F_N の1における1階および2階微分の収束と等価であることを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 N粒子系における大数の法則が成り立つためのJack生成関数の条件は何か？
• RQ2 粒子系における中心極限定理は、1近傍におけるJack生成関数の漸近的挙動をどのように特徴づけられるか？
• RQ3 Jack生成関数の1におけるgermと粒子系の極限分布との間にはどのような関係があるか？
• RQ4 Jackキャラクターの漸近的挙動と、ゾナル多項式のリトルウッド＝リチャードソン係数の漸近的挙動は、生成関数の微分とどのように関係するか？
• RQ5 このフレームワークを用いて、非交差確率ウォークにおける高さ関数のフラクチュエーションが、上半平面へのガウス自由場の引き戻しのフラクチュエーションに収束することを示せるか？

主な発見

• N粒子系における大数の法則は、p = 1^N における log F_N の1階偏微分の収束と同値である。
• 1レベル系における中心極限定理は、log F_N が1において2階偏微分が有限極限に収束することと、かつそのときに限り成立する。
• 多段階系では、log F_N の1における混合2階微分の同時収束が、粒子系の連立ガウス型フラクチュエーションを特徴付ける。
• 一般の非交差確率ウォーク族における高さ関数のフラクチュエーションは、上半平面へのガウス自由場の引き戻しのフラクチュエーションに収束する。
• Jackキャラクターの漸近的挙動は、1におけるJack生成関数のgermによって完全に決定され、微分解析を用いて明示的な公式が導出された。
• ゾナル多項式の積に対するリトルウッド＝リチャードソン係数は、生成関数の微分に従う普遍的な漸近的フラクチュエーションを示す。