[論文レビュー] Seiberg-Witten geometry of four dimensional N=2 quiver gauge theories

Nikita Nekrasov, Vasily Pestun|arXiv (Cornell University)|Nov 12, 2012

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 152被引用数 139

ひとこと要約

本稿は、質量変形を伴う4次元N=2クワイバーゲージ理論のSeiberg-Witten幾何を決定し、真空モジュライ空間Mを、退化した楕円曲線上の正則G bundleのモジュライ空間への genus-zero 正則 (準)写像のモジュライ空間として同定する。ここでGはADEゲージ群である。基礎となる可積分系が特定され、インスタントン、モノポール、Hitchin系、スピンチェーンがMの特別な幾何と結びつけられる。

ABSTRACT

Seiberg-Witten geometry of mass deformed N=2 superconformal ADE quiver gauge theories in four dimensions is determined. We solve the limit shape equations derived from the gauge theory and identify the space M of vacua of the theory with the moduli space of the genus zero holomorphic (quasi)maps to the moduli space of holomorphic G-bundles on a (possibly degenerate) elliptic curve defined in terms of the microscopic gauge couplings, for the corresponding simple ADE Lie group G. The integrable systems underlying, or, rather, overlooking the special geometry of M are identified. The moduli spaces of framed G-instantons on R^2xT^2, of G-monopoles with singularities on R^2xS^1, the Hitchin systems on curves with punctures, as well as various spin chains play an important role in our story. We also comment on the higher dimensional theories. In the companion paper the quantum integrable systems and their connections to the representation theory of quantum affine algebras will be discussed

研究の動機と目的

• 質量変形を伴う4次元N=2超共形ADEクワイバーゲージ理論のSeiberg-Witten幾何を決定すること。
• 真空モジュライ空間Mを、おそらく退化している楕円曲線上の正則G bundleのモジュライ空間への genus-zero 正則 (準)写像のモジュライ空間として同定すること。
• Mの特別な幾何の背後にある可積分系を解明し、ゲージ理論と幾何的・可積分的構造を結びつけること。
• 真空幾何と、R²×T²上のフレーム付きGインスタントン、R²×S¹上の特異Gモノポール、および穴あきをもつHitchin系といった物理的系との関係を確立すること。
• 量子可積分系とそれらの量子アフィン代数との関係を理解する基盤を築くこと。同行論文で詳しく議論されている。

提案手法

• N=2ゲージ理論に由来する極限形状方程式を解き、真空モジュライ空間Mを特定すること。
• 微視的ゲージ結合定数を用いて楕円曲線とその上での正則G bundleのモジュライ空間を定義すること。
• G bundleのモジュライ空間への genus-zero 正則 (準)写像の解析を通じてMを特徴付けること。
• 幾何的およびゲージ理論的構成を用いて、Mの特別な幾何の背後にある可積分系を同定すること。
• フレーム付きGインスタントンとR²×S¹上に特異点をもつGモノポールを、主要な物理的実現として用いること。
• 穴あき曲線上のHitchin系を適用し、幾何的エンジニアリングを通じて真空幾何と関連付けること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 質量変形を伴うN=2 ADEクワイバーゲージ理論の真空モジュライ空間Mは、幾何的にどのように特徴づけられるか？
• RQ2 楕円曲線およびその正則G bundleのモジュライ空間が、Seiberg-Witten幾何を決定する上で果たす役割は何か？
• RQ3 Mの特別な幾何の背後にある可積分系は何か？また、それらはどのように関連しているか？
• RQ4 R²×T²上のフレーム付きGインスタントンとR²×S¹上の特異Gモノポールは、Mの幾何的構造にどのように寄与するか？
• RQ5 真空幾何と、穴あきリーマン面上のHitchin系との間にはどのような関係があるか？

主な発見

• 真空モジュライ空間Mは、おそらく退化している楕円曲線上の正則G bundleのモジュライ空間への genus-zero 正則 (準)写像のモジュライ空間として同定された。
• クワイバーゲージ理論のSeiberg-Witten幾何は、楕円曲線の幾何的データとG bundleのモジュライ空間によって完全に決定され、微視的ゲージ結合定数を通じて符号化される。
• Mの特別な幾何の背後にある可積分系が明示的に同定され、ゲージ理論が数学的物理における可積分構造と結びつけられた。
• フレーム付きGインスタントンとR²×S¹上に特異点をもつGモノポールが、真空幾何を実現する上で中心的な役割を果たすことが示された。
• 穴あき曲線上のHitchin系は、Mの幾何的記述の自然な一部として現れ、代数幾何学への橋渡しを果たす。
• この枠組みは、これらの可積分系の量子化と、量子アフィン代数の表現論との関係を理解する基盤を提供する。同行論文で詳細に述べられている。