[論文レビュー] Law of Large Numbers for Infinite Random Matrices over a Finite Field

Alexey Bufetov, Leonid Petrov|arXiv (Cornell University)|Feb 7, 2014

Random Matrices and Applications参考文献 54被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、有限体上の無限ランダム行列に対して、大数の法則を証明し、$n\times n$ の部分行列によって形成されるヤング図の行と列の頻度が、混合中心測度のパrameterにほとんど確実に収束することを示している。著者らは、ハル＝リトルウッド対称関数に従ってヤング図をサンプリングする、新しい確率的ロビンソン＝シュエンステッド＝クラーク挿入アルゴリズムを用いてこの結果を得ており、対称群に関する先行研究を一般化し、ケロフの予想である、このような測度の漸近的挙動に関する予想を裏付けている。

ABSTRACT

Asymptotic representation theory of general linear groups GL(n,q) over a finite field leads to studying probability measures ρon the group U of all infinite uni-uppertriangular matrices over F_q, with the condition that ρis invariant under conjugations by arbitrary infinite matrices. Such probability measures form an infinite-dimensional simplex, and the description of its extreme points (in other words, ergodic measures ρ) was conjectured by Kerov in connection with nonnegative specializations of Hall-Littlewood symmetric functions. Vershik and Kerov also conjectured the following Law of Large Numbers. Consider an n by n diagonal submatrix of the infinite random matrix drawn from an ergodic measure coming from the Kerov's conjectural classification. The sizes of Jordan blocks of the submatrix can be interpreted as a (random) partition of n, or, equivalently, as a (random) Young diagram λ(n) with n boxes. Then, as n goes to infinity, the rows and columns of λ(n) have almost sure limiting frequencies corresponding to parameters of this ergodic measure. Our main result is the proof of this Law of Large Numbers. We achieve it by analyzing a new randomized Robinson-Schensted-Knuth (RSK) insertion algorithm which samples random Young diagrams λ(n) coming from ergodic measures. The probability weights of these Young diagrams are expressed in terms of Hall-Littlewood symmetric functions. Our insertion algorithm is a modified and extended version of a recent construction by Borodin and the second author (arXiv:1305.5501). On the other hand, our randomized RSK insertion generalizes a version of the RSK insertion introduced by Vershik and Kerov (1986) in connection with asymptotic representation theory of symmetric groups (which is governed by nonnegative specializations of Schur symmetric functions).

研究の動機と目的

• 有限体上の無限ランダム行列の $n\times n$ 部分行列から生じるランダムヤング図の行と列の頻度に対する大数の法則を証明すること。
• ユニ・上三角行列群の混合中心測度の分類に関してケロフの予想を確認すること。
• ハル＝リトルウッド対称関数を通じて、$GL(n,\mathbb{F}_q)$ の漸近的表現理論とヤング図の極限形状との間の関係を確立すること。
• ハル＝リトルウッド測度に従って確率的にヤング図を生成する、新しい確率的RSK挿入アルゴリズムの開発と分析。
• 混合測度分類におけるパrameter $\boldsymbol{\alpha}$ と $\boldsymbol{\beta}$ の有限列から無限列への漸近的結果の拡張。

提案手法

• ハル＝リトルウッド一貫測度からヤング図 $\lambda(n)$ をサンプリングする確率的RSK挿入アルゴリズムを導入し、その確率はハル＝リトルウッド対称関数で表現される。
• ヤング図の塔におけるマルコフ動的を構築し、最初の $k$ フロアが上位のフロアとは独立に進化するようにすることで、漸近的解析を可能にする。
• $\mathcal{A}$-テーブルとヤング図の間の双対性を用いて、行・列の長さをテーブルに現れる特定の文字の数に関連付ける。
• 命題7.9および7.11を適用し、異なる文字の順序付けにおける最初の $k$ フロアの行・列長の極限挙動を分析する。
• 最初の $k$ フロアの収束性と全ボックス数制約 $n + \mathsf{a}\mathsf{b}$ を用いて、正規化された行・列長の下界と上界を確立する。
• liminf と limsup の推定を組み合わせることで、$\lambda_k(n)/n$ が $\alpha_k$ にほとんど確実に収束し、$\lambda_k'(n)/n$ が $\beta_k/(1 - \mathfrak{q}^{-1})$ にほとんど確実に収束することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 無限ランダム行列の $n\times n$ 部分行列によって形成されるヤング図の行と列の頻度は、$n \to \infty$ のときほとんど確実に収束するか？
• RQ2 パrameter $(\boldsymbol{\alpha}; \boldsymbol{\beta}; \gamma)$ でパラメータ化された $\mathbb{U}$ 上の混合中心測度のケロフの予想的分類は、このような行列の漸近的挙動と整合的か？
• RQ3 ハル＝リトルウッド対称関数に従ってヤング図をサンプリングする確率的RSK挿入アルゴリズムを構築できるか？ また、そのアルゴリズムは図の極限形状を捉えられるか？
• RQ4 極限の行・列頻度は、混合測度のパラメータ $\alpha_k$ と $\beta_k$ とどのように関係するか？
• RQ5 $n \to \infty$ のとき、ランダムヤング図 $\lambda(n)$ の $k$ 番目の行と列の長さの漸近的挙動は何か？

主な発見

• 各固定された $k$ に対して、正規化された行長さ $\lambda_k(n)/n$ は $n \to \infty$ のときほとんど確実に $\alpha_k$ に収束する。
• 各固定された $k$ に対して、正規化された列長さ $\lambda_k'(n)/n$ は $n \to \infty$ のときほとんど確実に $\beta_k / (1 - \mathfrak{q}^{-1})$ に収束する。
• 行と列の極限頻度は、混合測度におけるパラメータ $\boldsymbol{\alpha}$ と $\boldsymbol{\beta}$ によって完全に決定され、ケロフの予想が裏付けられる。
• 証明は、最初の $k$ フロアのヤング図の塔を独立に分析することに依拠しており、それらの動的が上位のフロアとは分離しているという事実を利用している。
• 全ボックス数制約と最初の $k$ フロアの収束性を用いて、$\lambda_k(n)/n$ と $\lambda_k'(n)/n$ のきつい liminf と limsup の境界を確立した。
• 確率的RSK挿入アルゴリズムは、古典的RSKおよびヴェルシク＝ケロフの版を一般化しており、マクドナルド過程とハル＝リトルウッド測度上の二変数動的を用いて構築されている。