[論文レビュー] Laws of large numbers and Langevin approximations for stochastic neural field equations

Evelyn Buckwar, Martin Riedler|arXiv (Cornell University)|Jun 27, 2012

Gene Regulatory Network Analysis参考文献 16被引用数 11

ひとこと要約

本論文は、確率的ニューラルフィールドモデルに対して厳密な確率的極限定理を確立し、大規模な集団スケーリング下で決定論的 Wilson-Cowan 方程式がフラッド極限として出現することを示している。さらに、マルティングール成分に対する中心極限定理を用いて、ニューラルフィールド・ランジュバン方程式を導出し、神経系における化学的ランジュバン方程式の数学的に根拠のある無限次元アナログを提供している。

ABSTRACT

In this study we consider limit theorems for microscopic stochastic models of neural fields. We show that the Wilson-Cowan equation can be obtained as the limit in probability on compacts for a sequence of microscopic models when the number of neuron populations distributed in space and the number of neurons per population tend to infinity. Though the latter divergence is not necessary. This result also allows to obtain limits for qualitatively different stochastic convergence concepts, e.g., convergence in the mean. Further, we present a central limit theorem for the martingale part of the microscopic models which, suitably rescaled, converges to a centered Gaussian process with independent increments. These two results provide the basis for presenting the neural field Langevin equation, a stochastic differential equation taking values in a Hilbert space, which is the infinite-dimensional analogue of the Chemical Langevin Equation in the present setting. On a technical level we apply recently developed law of large numbers and central limit theorems for piecewise deterministic processes taking values in Hilbert spaces to a master equation formulation of stochastic neuronal network models. These theorems are valid for processes taking values in Hilbert spaces and by this are able to incorporate spatial structures of the underlying model.

研究の動機と目的

• 有限サイズの確率的ニューロンネットワークに対する近似として、決定論的ニューラルフィールド方程式（例：Wilson-Cowan 方程式）が使用可能であることを正当化すること。
• 微視的モデルのマルティングール成分に対する中心極限定理を用いて、大規模ニューロン集団における内部ノイズを数学的に特徴づけること。
• 化学的ランジュバン方程式を空間的構造を持つニューロン系に一般化した、ヒルバート空間における確率的ニューラルフィールド方程式を導出すること。
• ヒューリスティックな展開（例：van Kampen のシステムサイズ展開）を超えて、収束の種類、条件、速度を明確に定量化する数学的に正確な収束結果を提供すること。

提案手法

• ヒルバート空間における、区分的決定的マコフ過程の最近の大数の法則および中心極限定理を、確率的ニューロンネットワークのマスター方程式形式に適用する。
• マスター方程式を用いて、離散的かつマコフ的スパイクダイナミクスを持つ有限サイズのニューロン集団をモデル化し、ヒルバート空間値過程を介して空間的構造を組み込む。
• フラッド極限（大数の法則）を導出し、集団サイズが無限大に近づく際に、コンパクト集合上で確率的に Wilson-Cowan 方程式に収束することを示す。
• プロセスのマルティングール成分に対する中心極限定理を適用し、適切なスケーリングのもとで、独立増分をもつ中心ガウス過程に収束することを示す。
• フラッド極限とノイズスケーリングを組み合わせることで、ヒルバート空間における確率的発展方程式として、ニューラルフィールド・ランジュバン方程式を構築する。
• ランジュバンおよび線形ノイズ近似の平均および2階モーメント方程式を導出し、非線形性がアフィンである場合には等価であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 微視的確率的ニューラルフィールドモデルの系列として、Wilson-Cowan 方程式がどのような条件下で極限として出現するか。
• RQ2 無限次元設定下で、大規模ニューロン集団の内部ノイズを数学的にどのように特徴づけられるか。
• RQ3 ニューラルフィールドダイナミクスの文脈において、化学的ランジュバン方程式の無限次元アナログは何か。
• RQ4 ランジュバン近似のモーメント方程式が、どのような場合に閉じて平均場方程式のそれと一致するか。
• RQ5 本フレームワークの収束特性は、van Kampen のシステムサイズ展開と比べてどのように異なるか。

主な発見

• Wilson-Cowan 方程式は、微視的確率的モデルのフラッド極限として厳密に導出され、ニューロン集団のサイズと集団数が無限大に近づく際、コンパクト集合上で確率的に収束することが示された。
• 微視的モデルのマルティングール成分は、適切にスケーリングされると、独立増分をもつ中心ガウス過程に収束し、これによりニューラルフィールド・ランジュバン方程式の構築が可能になった。
• 得られたニューラルフィールド・ランジュバン方程式は、ヒルバート空間における確率的発展方程式であり、神経フィールドの文脈における化学的ランジュバン方程式の無限次元対応物である。
• Wilson-Cowan 方程式の非線形性がアフィンである場合、ランジュバン近似および線形ノイズ近似の平均および2階モーメント方程式は一致し、有限次元の化学動力学と一致する。
• ランジュバン近似および線形ノイズ近似のモーメント方程式は構造的に類似しているが、同一ではない。これらはアフィン非線形性の下でのみ一致し、その場合に限り系が閉じる。
• 本フレームワークは、微視的確率的モデルと巨視的方程式との間の数学的に正確な接続を提供し、収束の種類、条件、速度を定量化している。これは、van Kampen 展開の限界を克服している。