[論文レビュー] Lawvere-Tierney sheaves, factorization systems, sections and $j$-essential monomorphisms in a topos

Zeinab Khanjanzadeh, Ali Madanshekaf|arXiv (Cornell University)|Mar 17, 2015

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 8被引用数 3

ひとこと要約

この論文はトポスにおけるLawvere-Tierneyシャーフ、分解系、および$j$-本質的単射について調査し、射$f: X \to B$が$\mathcal{E}/B$における$j_B$-シャーフであるための必要十分条件を、そのグラフが$\mathcal{E}/B$においてセクションであること、およびセクション対象$S(f)$が$\mathcal{E}$における$j$-シャーフであることとして確立している。さらに、$j$-本質的単射を導入し、プレシェーブトポスにおける任意のプレシェーブが最大の本質的拡張をもつことを証明している。

ABSTRACT

Let $j$ be a Lawvere-Tierney topology (a topology, for short) on an arbitrary topos $\mathcal{E}$, $B$ an object of $\mathcal{E}$, and $j_B = j imes 1_B$ the induced topology on the slice topos $\mathcal{E}/B$. In this manuscript, we analyze some properties of the pullback functor $Π_B:\mathcal{E} ightarrow \mathcal{E}/B$ which have deal with topology. Then for a left cancelable class $\mathcal{M}$ of all $j$-dense monomorphisms in a topos $\mathcal{E}$, we achieve some necessary and sufficient conditions for that $(\mathcal{M} , \mathcal{M}^{\perp})$ is a factorization system in $\mathcal{E}$, which is related to the factorization systems in slice topoi $\mathcal{E}/B,$ where $B$ ranges over the class of objects of $\mathcal{E}$. Among other things, we prove that an arrow $f : X ightarrow B$ in $\mathcal{E}$ is a $j_B$-sheaf whenever the graph of $f$, is a section in $\mathcal{E}/B$ as well as the object of sections $S(f)$ of $f$, is a $j$-sheaf in $\mathcal{E}$. Furthermore, we introduce a class of monomorphisms in $\mathcal{E}$, which we call them $j$-essential. Some equivalent forms of those and some of their properties are presented. Also, we prove that any presheaf in a presheaf topos has a maximal essential extension. Finally, some similarities and differences of the obtained result are discussed if we put a (productive) weak topology $j$, studied by some authors, instead of a topology.

研究の動機と目的

• トポスにおける$\mathcal{E}/B$における$S(f)$と$f$のグラフを通じた$j$-シャーフの特徴づけ。
• $j$-本質的単射の定義とその性質を、単射性および分解系との関係で研究すること。
• プレシェーブトポスにおける任意のプレシェーブが最大の本質的拡張をもつことの確立。
• 完全なLawvere-Tierneyトポスと生産的弱トポスとの間で結果を比較し、類似性が崩れる点を特定すること。

提案手法

• $\mathcal{E} \to \mathcal{E}/B$への引き戻し函手$\Pi_B$と、$j$-稠密単射および$j_B$-シャーフに対するその挙動の分析。
• スライストポス構造を用いて、引き戻しによって$j$-稠密単射を反映する単射として$j$-本質的単射を導入。
• Zornの補題を用いて、$\widehat{\mathcal{C}}$におけるプレシェーブの最大$j$-本質的拡張の存在を証明。
• カテゴリカル双対性とセクション対象を用いて、$f: X \to B$が$\mathcal{E}/B$で$j_B$-シャーフであることと、そのグラフが$\mathcal{E}/B$でセクションであること、および$S(f)$が$\mathcal{E}$で$j$-シャーフであることの必要十分条件を確立。
• 完全なLawvere-Tierneyトポスと生産的弱トポスの両方で結果を比較し、特定の分解条件の十分性が弱トポスでは成り立たないことを指摘。
• 内部論理と部分対象分類子の性質を用いて、$j$-稠密単射が合成および引き戻しに関して閉じていることを検証。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 トポス$\mathcal{E}$における射$f: X \to B$がスライストポス$\mathcal{E}/B$で$j_B$-シャーフであるのはいつか？
• RQ2 クラス$\mathcal{M}$を$j$-稠密単射とするとき、ペア$(\mathcal{M}, \mathcal{M}^\perp)$が分解系をなす条件は何か？
• RQ3 $j$-本質的単射はどのように特徴づけられ、単射性および本質的拡張とどのように関係するか？
• RQ4 プレシェーブトポスにおける任意のプレシェーブは最大の$j$-本質的拡張をもつのか？また、$j$-単射性とはどのように関係するか？
• RQ5 生産的弱トポスに置き換えた場合、Lawvere-Tierneyトポスにおける結果とどのように異なるか、特に分解および単射の閉包性において。

主な発見

• トポス$\mathcal{E}$における射$f: X \to B$が$\mathcal{E}/B$で$j_B$-シャーフであることは、$\mathcal{E}/B$においてそのグラフがセクションであること、およびセクション対象$S(f)$が$\mathcal{E}$で$j$-シャーフであることと同値である。
• $j$-本質的単射は、$\Pi_B$を介した引き戻しによって$j$-稠密単射を反映する単射として特徴づけられ、$j$-シャーフ性を保つ。
• プレシェーブトポス$\widehat{\mathcal{C}}$における任意のプレシェーブ$F$は、$\{\text{本質的拡張の集合}\}$の順序集合にZornの補題を適用することで、最大の$j$-本質的拡張をもつ。
• $j$-単射プレシェーブ（すなわち$j$-シャーフ）は、真の$j$-本質的拡張をもたない。なぜなら、そのような拡張は非単射な再帰的写像を介して単射性条件に矛盾するからである。
• 引き戻し函手$\Pi_B$は$j$-本質的単射を反映する。すなわち、$\Pi_B(f)$が$j_B$-本質的ならば、$f$は$j$-本質的である。
• 生産的弱トポス$j$において、完全なトポスと類似する多くの結果が成り立つが、特定の分解条件の十分性は成り立たない。なぜなら、一般に稠密単射の閉包性の逆は成り立たないからである。