[論文レビュー] LDPC Codes from Latin Squares Free of Small Trapping Sets

Dung Viet Nguyen, Shashi Kiran Chilappagari+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 24, 2010

Error Correcting Code Techniques参考文献 45被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、有限体上のラテン平方から構築された、構造的LDPC符号の新クラスを紹介する。この手法により、有害な小さなトラッピング集合を排除することで、誤りフロアを低減できる符号設計が可能になる。アルゴリズムは、ラテン平方を用いた代数的行列演算により、奇数行列に置換行列を生成し、反復復号化下での性能劣化を引き起こす特定のトラッピング集合の存在を回避する。特に、バイナリ対称チャネル（BSC）において顕著な性能向上が得られる。

ABSTRACT

This paper is concerned with the construction of low-density parity-check (LDPC) codes with low error floors. Two main contributions are made. First, a new class of structured LDPC codes is introduced. The parity check matrices of these codes are arrays of permutation matrices which are obtained from Latin squares and form a finite field under some matrix operations. Second, a method to construct LDPC codes with low error floors on the binary symmetric channel (BSC) is presented. Codes are constructed so that their Tanner graphs are free of certain small trapping sets. These trapping sets are selected from the Trapping Set Ontology for the Gallager A/B decoder. They are selected based on their relative harmfulness for a given decoding algorithm. We evaluate the relative harmfulness of different trapping sets for the sum product algorithm (SPA) by using the topological relations among them and by analyzing the decoding failures on one trapping set in the presence or absence of other trapping sets.

研究の動機と目的

• 反復復号化下でのバイナリ対称チャネル（BSC）におけるLDPC符号の誤りフロア劣化という、長年の課題に取り組む。
• 復号失敗を引き起こすと知られている、小さな有害なトラッピング集合を内蔵的に回避する構造的LDPC符号の構築法を開発する。
• 特に、有限体上のラテン平方という代数的構造を活用し、望ましい組合せ的・代数的性質を持つ奇数行列を生成する。
• トラッピング集合間のトポロジカル関係を分析することで、誤りフロアが顕著に低い符号を体系的に構築する方法を提供する。
• 巡回行列に基づく準巡回LDPC符号にとどまらない、より一般的な置換行列を体演算から導出することで、既存の代数的構成を拡張する。

提案手法

• GF(q)上のラテン平方から得られる各要素を体演算により置換行列に対応させ、その配置を行列アレイとして奇数行列を構築する。
• ラテン平方に演算を定義することで、得られる置換行列がガロア体GF(q)を形成し、符号構造の代数的操作を可能にする。
• トポロジカル関係と和積アルゴリズム下での相対的有害性を分析することで、特定の小さなトラッピング集合をタンナーグラフから体系的に排除する手法を適用する。
• ギャラガーA/B復号器用のトラッピング集合オントロジーを用い、符号構築段階で最も深刻なトラッピング集合を特定・除外する。
• 隣接するトラッピング集合の有無を想定したシミュレーションを通じて、トラッピング集合の相対的有害性を評価し、除外対象の選定を支援する。
• 代数的構造のおかげで、行-列（RC）制約が自明に満たされ、4サイクルの発生が防止され、符号性能が向上する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 タンナーグラフ内の小さなトラッピング集合を排除することで、誤りフロアを最小限に抑える構造的LDPC符号は、どのように構築できるか？
• RQ2 和積アルゴリズム下で、異なるトラッピング集合の相対的有害性は何か？ また、それらのトポロジカルな相互作用は、復号失敗にどのように影響するか？
• RQ3 有限体上のラテン平方を用いて、置換行列を生成し、誤りフロアが保証的に低いLDPC符号を得られるか？
• RQ4 ラテン平方の代数的構造は、既存のアレイLDPC符号よりも高いレートを持つLDPC符号の構築をどのように可能にするか？
• RQ5 GF(2^ϑ)から構築されたLDPC符号の最小距離は何か？ そして、それは符号性能にどのように制約を及えるか？

主な発見

• 提案されたLDPC符号は、GF(q)上のラテン平方から構築され、行列演算によってガロア体GF(q)を形成する。これにより、一般化された代数的構造に基づく符号設計が可能になる。
• 本手法により、(7,3){2}、(6,4){1}、(8,0){1}といった特定の小さなトラッピング集合がタンナーグラフから排除され、BSCにおける誤りフロアが顕著に低減された。
• GF(2^ϑ)上で構築された符号では、最小距離が8で上界をもつことが示され、(8,0){1}語の数は、ρ（行重み）を用いて (ρ choose 2) × 2^(ϑ−2) で下限が厳密に保証される。
• girth 8の列重み3符号では、(8,0){2}語が検出されなかったため、重み8語の総数が(8,0){1}語の下限に一致することが示された。
• 構築された符号のタンナーグラフには8サイクルが存在し、(8,0){1}語の存在に一致して、girthが8以下であることが示された。
• 本構築法は、qが素数のときアレイLDPC符号を一般化し、短縮されたアレイLDPC符号よりも高いレートを実現しながら、誤りフロアを低く保つことができる。