[論文レビュー] Leading coefficients of the Kazhdan-Lusztig polynomials for an Affine Weyl group of type $\widetilde{B_2}$

Liping Wang|arXiv (Cornell University)|May 22, 2008

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 15被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、a関数とセル分解を用いて、型 $\tilde{B}_2$ のアフィンワイル群におけるカジダン–ルスティッグ多項式の先頭係数 μ(u,w) を計算する。この群に対してルスティッグの特徴的な対合に関する予想を証明し、W-グラフが局所的でないことを示す一方で、ルスティッグの以前の研究における公式の修正も行う。

ABSTRACT

In this paper we compute the leading coefficients $μ(u,w)$ of the Kazhdan--Lusztig polynomials $P_{u,w}$ for an affine Weyl group of type $ ilde{B}_2$. By using the extbf{a}-function of a Coxeter group defined by Lusztig (see [L1, \S2]), we compute most $μ(u,w)$ explicitly. With part of these values $μ(u,w)$, we show that a conjecture of Lusztig on distinguished involutions is true for an affine Weyl group of type $ ilde{B}_2$. We also show that the conjectural formula in [L3, (12)] needs a modification.

研究の動機と目的

• アフィンワイル群の型 $\tilde{B}_2$ におけるカジダン–ルスティッグ多項式の先頭係数 μ(u,w) を計算すること。
• 計算された μ(u,w) の値を用いて、1987年にルスティッグが提示した型 $\tilde{B}_2$ における特徴的な対合に関する予想を検証すること。
• 型 $\tilde{B}_2$ のW-グラフの構造を調査し、それが局所的であるかどうかを特定すること。
• ルスティッグの [L3, (12)] における $b_{\nu,\nu'}$ に関する予想的な公式に存在する欠陥を特定し、修正すること。

提案手法

• ルスティッグによって定義されたコクセター群の a関数を用い、a(w) の値（0, 1, 2, 4）に基づいて $\tilde{B}_2$ の元を4つの両側セルに分類する。
• カジダン–ルスティッグ多項式の再帰的性質と、μ(u,w) を $P_{u,w}$ の先頭係数として定義する公式 $P_{u,w} = \nu(u,w)q^{(l(w)-l(u)-1)/2} + \text{低次の項}$ を用いる。
• 対称性 $\mu(u,w) = \mu(u^{-1},w^{-1})$ とブラハット順序を用いて、非ゼロ係数が取りうる可能性を制限する。
• 生成集合に関する左・右のストリングを用いて、特に $a(u)=2$, $a(w)=1$ の場合の μ(u,w) を分析する。
• [SX, Theorem 3.1] および [W] の結果を応用し、$c_0$ セル（$a(w)=4$）に属する元の μ(u,w) を計算する。
• 双対性とセル構造を用いて、W-グラフの非局所的有限性を検証し、ルスティッグの予想的公式の妥当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アフィンワイル群の型 $\tilde{B}_2$ におけるカジダン–ルスティッグ多項式の先頭係数 μ(u,w) は、すべての $u < w$ に対して完全に計算可能か？
• RQ2 ルスティッグの1987年の特徴的な対合に関する予想は、アフィンワイル群の型 $\tilde{B}_2$ に対して成り立つか？
• RQ3 型 $\tilde{B}_2$ のW-グラフは局所的であるか、それとも無限個の非ゼロ μ(u,w) を持つ元が存在するか？
• RQ4 [L3, (12)] における $b_{\nu,\nu'}$ の予想的公式は、$\tilde{B}_2$ の先頭係数を正しく記述しているか？
• RQ5 型 $\tilde{B}_2$ において $a(u)=2$ かつ $a(w)=1$ のとき、μ(u,w) の正確な構造は何か？

主な発見

• 論文は、$u,w \notin c_0$ でない限り、すべての $u < w$ について μ(u,w) を明示的に計算し、$c_0 \times c_0$ の場合については [SX, Theorem 3.1] を用いた公式を提供する。
• ルスティッグの特徴的な対合に関する予想は、アフィンワイル群の型 $\tilde{B}_2$ に対して正しく証明された。
• 型 $\tilde{B}_2$ のW-グラフは非局所的有限であることが証明され、$\mu(u,w) \neq 0$ となる $w$ が無限個存在するような $u$ が存在する。
• [L3, (12)] における $b_{\nu,\nu'}$ の公式は誤りであり、修正が必要であることが示され、命題5.1および注意5.3で確認された。
• $a(u)=2$, $a(w)=1$ の場合、左・右の下降集合 $L(w)$ と $R(w)$ に応じた非ゼロ μ(u,w) の完全な分類が与えられ、$L(w)=R(w)=\{s\}$、$L(w)=\{s\}, R(w)=\{s'\}$ などの明示的ケースが提示される。
• 長さの差 $l(w) - l(u) \leq 3$ の場合のすべての $\mu(u,w)$ が同定され、この有界長さ範囲での完全な分類が得られた。