[論文レビュー] Learnability of the output distributions of local quantum circuits

Marcel Hinsche, Marios Ioannou+7 more|arXiv (Cornell University)|Oct 11, 2021

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、局所的量子回路からの出力分布の学習可能性を調査し、超対数的深さのクリフォード回路は統計的クエリを用いた学習では効率的に学習可能でないことを示している（この設定では量子優位性がないことを示唆）。一方、直接的なサンプルアクセスが与えられた場合、古典的学習者がそれらを効率的に学習可能である。本研究は、確率的モデリングの観点から量子回路ボーンマシンに対する最初の厳密な分析を提供する。

ABSTRACT

There is currently a large interest in understanding the potential advantages quantum devices can offer for probabilistic modelling. In this work we investigate, within two different oracle models, the probably approximately correct (PAC) learnability of quantum circuit Born machines, i.e., the output distributions of local quantum circuits. We first show a negative result, namely, that the output distributions of super-logarithmic depth Clifford circuits are not sample-efficiently learnable in the statistical query model, i.e., when given query access to empirical expectation values of bounded functions over the sample space. This immediately implies the hardness, for both quantum and classical algorithms, of learning from statistical queries the output distributions of local quantum circuits using any gate set which includes the Clifford group. As many practical generative modelling algorithms use statistical queries -- including those for training quantum circuit Born machines -- our result is broadly applicable and strongly limits the possibility of a meaningful quantum advantage for learning the output distributions of local quantum circuits. As a positive result, we show that in a more powerful oracle model, namely when directly given access to samples, the output distributions of local Clifford circuits are computationally efficiently PAC learnable by a classical learner. Our results are equally applicable to the problems of learning an algorithm for generating samples from the target distribution (generative modelling) and learning an algorithm for evaluating its probabilities (density modelling). They provide the first rigorous insights into the learnability of output distributions of local quantum circuits from the probabilistic modelling perspective.

研究の動機と目的

• 局所的量子回路の出力分布が、確率的モデリング手法を用いて効率的に学習可能かどうかを明らかにすること。
• 量子回路ボーンマシンに基づく生成的モデリングタスクにおける量子優位性の可能性を評価すること。
• 特に、統計的クエリアクセスと直接的サンプルアクセスの2つのオракルモデルにおける、これらの分布の学習可能性を評価すること。
• このような分布に対する古典的および量子学習アルゴリズムの理論的限界を確立すること。
• 近い将来の量子デバイスを用いた生成的モデリングにおける量子機械学習の可能性について、基礎的洞察を提供すること。

提案手法

• 統計的クエリと直接的サンプルアクセスの2つのオラクルモデルにおける、量子回路ボーンマシンのおそらく近似的に正しい（PAC）学習可能性を分析する。
• 超対数的深さのクリフォード回路の出力分布が、サンプル空間上の有界関数を用いた統計的クエリモデルでは、サンプル効率的に学習可能でないことを証明する。
• より強力な直接的サンプルアクセスモデルでは、古典的学習者が局所的クリフォード回路の出力分布を効率的にPAC学習可能であることを示す。
• 有限体上の線形代数の道具を用い、特にランダムなバイナリ行列がフル列ランクをとる確率を用いて、部分空間回復に関する確率的境界を確立する。
• k個のベクトルをサンプリングし、基準サンプルとのXORをとることでアフィン部分空間に変換し、ガウスの消去法を用いて基底を回復するアフィン部分空間回復アルゴリズムを適用する。
• 集中不等式および確率的不等式を用いて、k = n + ⌈log(1/δ)⌉個のサンプルが、確率1−δ以上で部分空間を回復するのに十分であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 局所的量子回路の出力分布は、統計的クエリアクセスを用いて効率的に学習可能か？
• RQ2 量子または古典的アルゴリズムを用いた局所的量子回路の出力分布の学習において、量子優位性は存在するか？
• RQ3 どのような条件下で、古典的学習者が局所的クリフォード回路の出力分布を効率的に学習可能か？
• RQ4 量子回路の深さが、統計的クエリモデルにおけるその出力分布の学習可能性にどのように影響するか？
• RQ5 量子回路の出力分布のサポートを信頼性高く再構成するのに必要な最小サンプル数は何か？

主な発見

• 超対数的深さのクリフォード回路の出力分布は、統計的クエリモデルではサンプル効率的に学習可能でない。これは、有界関数の経験的期待値に依存する学習アルゴリズムが、これらの分布を効率的に学習できないことを示唆する。
• この結果は、実用的な生成的モデリングアルゴリズムで一般的に用いられる統計的クエリを用いる場合、古典的および量子の両方のアルゴリズムが根本的な難易度に直面することを示している。
• 一方、直接的サンプルアクセスが可能である場合には、局所的クリフォード回路の出力分布は、古典的学習者が計算的に効率的にPAC学習可能である。
• 古典的PAC学習に必要なサンプル複雑度は、O(n + log(1/δ))であり、nはキュービット数、δは失敗確率を表す。
• 高い確率（少なくとも1−δ）で、k = n + ⌈log(1/δ)⌉個のサンプルが、出力分布のアフィン部分空間構造を回復するのに十分であることが分析で確立された。
• これらの結果は、生成的モデリング（サンプリングの学習）および密度モデリング（確率の評価の学習）の両方に対して適用可能であり、量子回路ボーンマシンの統一的理論的基盤を提供する。