[論文レビュー] Quantum statistical query learning

Srinivasan Arunachalam, Alex B. Grilo+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 19, 2020

Machine Learning and Algorithms参考文献 56被引用数 19

ひとこと要約

本稿では、量子統計的クエリ（QSQ）学習モデルを導入する。これは、古典的学習者が量子例を統計的クエリ（量子オブザーバブルの期待値推定）を通じてのみアクセスするという制限付きでありながらも強力なフレームワークである。主な貢献は、パリティ関数、O(log n)-ジャンプス、多項式サイズのDNF式といった概念クラスが、QSQモデルにおいては古典的SQモデルで困難であるにもかかわらず、効率的に学習可能であることを示したことである。これは、この制限付き設定ですでに量子優位性を示している。

ABSTRACT

We propose a learning model called the quantum statistical learning QSQ model, which extends the SQ learning model introduced by Kearns to the quantum setting. Our model can be also seen as a restriction of the quantum PAC learning model: here, the learner does not have direct access to quantum examples, but can only obtain estimates of measurement statistics on them. Theoretically, this model provides a simple yet expressive setting to explore the power of quantum examples in machine learning. From a practical perspective, since simpler operations are required, learning algorithms in the QSQ model are more feasible for implementation on near-term quantum devices. We prove a number of results about the QSQ learning model. We first show that parity functions, (log n)-juntas and polynomial-sized DNF formulas are efficiently learnable in the QSQ model, in contrast to the classical setting where these problems are provably hard. This implies that many of the advantages of quantum PAC learning can be realized even in the more restricted quantum SQ learning model. It is well-known that weak statistical query dimension, denoted by WSQDIM(C), characterizes the complexity of learning a concept class C in the classical SQ model. We show that log(WSQDIM(C)) is a lower bound on the complexity of QSQ learning, and furthermore it is tight for certain concept classes C. Additionally, we show that this quantity provides strong lower bounds for the small-bias quantum communication model under product distributions. Finally, we introduce the notion of private quantum PAC learning, in which a quantum PAC learner is required to be differentially private. We show that learnability in the QSQ model implies learnability in the quantum private PAC model. Additionally, we show that in the private PAC learning setting, the classical and quantum sample complexities are equal, up to constant factors.

研究の動機と目的

• 量子例へのアクセスを統計的クエリに制限する量子学習モデルを形式化し、近い将来の量子デバイスでも実行可能であることを目指す。
• 量子状態への直接アクセスが制限される中で、量子例が学習に優位性をもたらすかどうかを調査する。
• QSQ学習、量子プライベートPAC学習、通信複雑性の間の関係を確立する。
• 弱統計的クエリ次元などの情報理論的測度を用いて、QSQモデルにおける概念クラスの学習可能性を特徴付ける。
• 量子学習優位性を達成するために、もつれや重ね合わせのクエリが必要かどうかを検討する。

提案手法

• 量子PACモデルの制限版としてQSQモデルを提案し、学習者が量子例におけるオブザーバブルの期待値推定のみを受信するようにする。
• 量子例を |ψc*⟩ = Σx √D(x) |x, c*(x)⟩ の形で取り扱い、ヘルミート演算子Mについて ⟨ψc*|M|ψc*⟩ の期待値をクエリする。
• 量子クエリ複雑性と統計的クエリ学習の技術を用いて学習可能性を分析し、アモニチュード増幅と集中不等式の応用を含む。
• QSQ学習におけるサンプル複雑度の上限を求めるために、確率的表現次元（PRDIM）の概念を導入する。
• log(WeakSQDIM(C))に基づく下界を用いて、QSQ学習と小バイアス量子通信モデルの間の関係を確立する。
• QSQ学習可能性が量子プライベートPACモデルにおける学習可能性を意味することを示し、プライベート設定下で古典的および量子のサンプル複雑度が定数倍の範囲で等価であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 学習者が量子状態の完全なアクセスができないが、統計的性質のみにアクセス可能な場合でも、量子例が学習優位性を提供できるか？
• RQ2 パリティ関数やDNF式といった概念クラスが、古典的SQモデルで困難であるにもかかわらず、QSQモデルで効率的に学習可能か？
• RQ3 弱統計的クエリ次元の対数が、特定の概念クラスにおけるQSQ学習複雑度のタイトな下界を提供するか？
• RQ4 QSQ学習を用いて微分プライベート量子PAC学習を達成できるか？ また、そのサンプル複雑度は古典的プライベート学習と比べてどうか？
• RQ5 一様分布下で、量子PAC学習とQSQ学習の間に分離が存在するか？ これにより、完全な量子優位性を達成するにはもつれや重ね合わせのクエリが必要である可能性が示唆されるか？

主な発見

• パリティ関数、O(log n)-ジャンプス、多項式サイズのDNF式は、QSQモデルにおいて効率的に学習可能であり、これは古典的SQモデルでの困難さとは対照的である。
• log(WeakSQDIM(C))はQSQ学習の複雑度の下界を提供し、特定の概念クラスではこの下界がタイトである。
• この下界は、積分布下での小バイアス量子通信モデルに対しても強い下界をもたらす。
• QSQ学習可能性は、量子プライベートPACモデルにおける学習可能性を意味し、プライベート設定下で古典的および量子のサンプル複雑度は定数倍の範囲で等価である。
• 本稿では、一様分布下で量子PAC学習とQSQ学習の間に分離が存在するかは未解決のままであり、完全な量子優位性を達成するにはもつれや重ね合わせのクエリが必要である可能性が示唆されている。
• このフレームワークは、量子機械学習アルゴリズムの統一的視点を示しており、多くの既知の量子アルゴリズムが統計的クエリモデルに再定式化可能であると示唆している。