[論文レビュー] Learning Potentials of Quantum Systems using Deep Neural Networks

Arijit Sehanobish, Héctor H. Corzo+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 23, 2020

Machine Learning in Materials Science参考文献 74被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、教師なしの方法で確率分布から量子ポテンシャルエネルギー関数を深層ニューラルネットワークを用いて学習する量子ポテンシャルニューラルネットワーク（QPNN）を提案する。Wigner–Moyal方程式と逆量子力学を活用することで、QPNNは高い精度でポテンシャルを再構築し、Pöschl–Tellerポテンシャルにおいて10⁻⁴未満のRMSEを達成した。これは、観測可能な情報が限られた状況でもハミルトニアンを効率的に再構築できるデータ効率の高い手法を示している。

ABSTRACT

Attempts to apply Neural Networks (NN) to a wide range of research problems have been ubiquitous and plentiful in recent literature. Particularly, the use of deep NNs for understanding complex physical and chemical phenomena has opened a new niche of science where the analysis tools from Machine Learning (ML) are combined with the computational concepts of the natural sciences. Reports from this unification of ML have presented evidence that NNs can learn classical Hamiltonian mechanics. This application of NNs to classical physics and its results motivate the following question: Can NNs be endowed with inductive biases through observation as means to provide insights into quantum phenomena? In this work, this question is addressed by investigating possible approximations for reconstructing the Hamiltonian of a quantum system in an unsupervised manner by using only limited information obtained from the system's probability distribution.

研究の動機と目的

• ハミルトニアンの事前知識がなく、観測可能な情報が限られた状況でも、量子ポテンシャルエネルギー関数を再構築する手法を開発すること。
• 逆量子力学の課題に取り組むために、ニューラルネットワークを用いて教師なしの方法で逆シュレーディンガー方程式を解くこと。
• 波動関数やWigner関数からの部分的な情報のみを用いて、複雑な量子系のハミルトニアンを効果的に構築すること。
• 深層ニューラルネットワークが確率分布の観測によって、量子現象の誘導的バイアスを学習できるかどうかを検討すること。

提案手法

• QPNNは4層の順伝播型ニューラルネットワークであり、残差接続を備え、空間座標からポテンシャルエネルギー関数へのマッピングを学習する。入力として確率分布を用いる。
• 量子位相空間ダイナミクスをモデル化するためにWigner–Moyal方程式を用い、無限階の偏微分方程式を切断展開で近似する。
• 教師なし学習により、波動関数またはWigner準確率分布を教師信号として用いてネットワークを訓練する。
• 一般化性能の向上と局所最適解の回避を目的に、最終層に異なる活性化関数とスケーリング戦略を適用する。
• 学習データは、系の定義領域からランダムに抽出された空間点で構成され、バッチサイズは32、1実験あたり1000エポック。
• 調査は、調和振動子、Pöschl–Teller、水素様原子、ソリトンなど、複数の量子系に対して実施され、実波動関数およびWigner分布データを用いた。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ハミルトニアンの明示的知識がなく、確率分布からのみポテンシャルエネルギー関数を再構築できるか。
• RQ2 波動関数やWigner関数といった観測可能な量のみを用いて、シュレーディンガー方程式の逆解をニューラルネットワークがどれほど正確に近似できるか。
• RQ3 活性化関数や残差接続といったアーキテクチャの選択が、異なる量子系にわたる一般化能力に与える影響は何か。
• RQ4 Pöschl–Tellerや径方向水素ポテンシャルのような複雑または解析的でないポテンシャルを持つ系に対し、QPNNはどの程度一般化できるか。
• RQ5 非正定値で数学的に難しいWigner準確率分布からも、QPNNはポテンシャルを学習できるか。

主な発見

• Pöschl–Tellerポテンシャルにおいて、真のポテンシャルと学習済みポテンシャルの間のRMSEは1.0×10⁻⁴ ± 6.0×10⁻⁵に達し、高い再構築精度を示した。
• 径方向水素原子では、ポテンシャル再構築のRMSEが3.0×10⁻⁴ ± 8.0×10⁻⁵に達し、特異性を有する系に対しても頑健であることを示した。
• 調和振動子では、ポテンシャル再構築のRMSEが1.1×10⁻¹ ± 5.0×10⁻²、エネルギー予測誤差が1.0×10⁻¹ ± 2.0×10⁻²であった。
• 2次元調和振動子では、ポテンシャルとエネルギーのRMSEはそれぞれ3.0×10⁻³ ± 9.0×10⁻⁴および4.0×10⁻³ ± 8.0×10⁻⁴であり、次元にわたる一貫性ある性能を示した。
• 箱の中の粒子系では、RMSEが4.3×10⁻¹ ± 6.0×10⁻²と低い性能を示し、これはポテンシャルの不連続性と滑らかでない波動関数が原因であると推測される。
• Wigner関数を学習データとして用いた場合、調和振動子ポテンシャルのRMSEは4.0×10⁻³ ± 8.0×10⁻⁵に達し、位相空間分布からの学習の可能性を確認した。