[論文レビュー] Learning quantum many-body systems from a few copies

Cambyse Rouzé, Daniel Stilck França|arXiv (Cornell University)|Jul 7, 2021

Quantum many-body systems参考文献 61被引用数 12

ひとこと要約

本稿では、系のサイズに対して多対数的に、観測可能の局所性に対して多項式的にスケーリングするコピー数から、準局所的観測量の期待値を学習する、新しい量子状態推定プロトコルを提案する。最大エントロピー推論と量子最適輸送、および古典的シャドウを組み合わせることで、標準的トモグラフィーに比べて指数的サンプル複雑性の改善を達成し、相関の減衰条件の下で物理的に関連のある観測量の効率的推定を可能にする。

ABSTRACT

Estimating physical properties of quantum states from measurements is one of the most fundamental tasks in quantum science. In this work, we identify conditions on states under which it is possible to infer the expectation values of all quasi-local observables of a state from a number of copies that scales polylogarithmically with the system's size and polynomially on the locality of the target observables. We show that this constitutes a provable exponential improvement in the number of copies over state-of-the-art tomography protocols. We achieve our results by combining the maximum entropy method with tools from the emerging fields of classical shadows and quantum optimal transport. The latter allows us to fine-tune the error made in estimating the expectation value of an observable in terms of how local it is and how well we approximate the expectation value of a fixed set of few-body observables. We conjecture that our condition holds for all states exhibiting some form of decay of correlations and establish it for several subsets thereof. These include widely studied classes of states such as one-dimensional thermal and high-temperature Gibbs states of local commuting Hamiltonians on arbitrary hypergraphs or outputs of shallow circuits. Moreover, we show improvements of the maximum entropy method beyond the sample complexity that are of independent interest. These include identifying regimes in which it is possible to perform the postprocessing efficiently as well as novel bounds on the condition number of covariance matrices of many-body states.

研究の動機と目的

• 多数体系の物理的性質を学ぶために、標準的トモグラフィーに比べてはるかに少ないコピー数を必要とする量子状態推定プロトコルの開発。
• 期待値が少数のコピーから効率的に推定可能な、準局所的観測量の条件の同定。
• トレース距離を誤差指標として用いるのではなく、観測量の物理的区別可能性をよりよく捉える Wasserstein 距離に置き換える。
• 古典的シャドウと最大エントロピー原理を組み合わせ、観測量の局所性における指数的スケーリングを回避する。
• 系サイズに関して対数的、局所性に関して多項式的なサンプル複雑性バウンディングを確立し、既存のプロトコルを改善する。

提案手法

• 測定された少数体観測量と整合する状態を推定するために最大エントロピー原理を用い、真の状態との相対エントロピーを最小化する。
• 少数のコピーから局所的縮約密度行列を効率的に推定するために、古典的シャドウの手法を組み込む。
• 量子最適輸送を用いて、準局所的観測量の期待値推定誤差を局所性と近似の質の観点からバウンドする。
• Wasserstein 距離を主な区別可能性指標として採用し、トレース距離よりも広範かつ局所的観測量に適している。
• 相関の減衰条件（1次元熱的状態や浅い量子回路出力など）の下でフレームワークを分析する。
• 共分散行列の条件数に関する新しいバウンディングを導出し、特定の領域での効率的な後処理を可能にする。

Figure 1: example of observable $O=\sum_{i}O_{i}$ for $2D$ lattice system of size $n$ . Each $O_{i}$ is supported on a $L\times L$ square ( $L=3$ in the figure). We have $\|O\|_{\operatorname{Lip}}=\mathcal{O}(\sqrt{n})$ and $\|O\|=n/L^{2}$ . Thus our methods require $\textrm{poly}(L,\log(n),\epsilo

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 系サイズに関して多対数的にスケーリングするコピー数で、準局所的観測量の期待値を推定可能か？
• RQ2 目的の観測量の局所性に関して多項式的なサンプル複雑性でこれを達成可能か？
• RQ3 トレース距離に代えて、Wasserstein 距離のようなより物理的に関連のある指標に置き換えることで、このような改善が可能か？
• RQ4 量子状態にどのような条件下で、この手法が証明可能なサンプル複雑性の利点を示すか？
• RQ5 古典的シャドウと最適輸送を組み合わせることで、最大エントロピー法が局所性における指数的スケーリングを回避できるか？

主な発見

• 期待値の推定誤差が Wasserstein 距離で ε 以内となるためのサンプル複雑性は O(ε⁻² log n) コピーで達成され、標準的トモグラフィーに比べて指数的改善を示す。
• 相関の減衰を示す状態（1次元熱的状態や局所的可換ハミルトニアンの高温ギブス状態など）では、この手法が証明可能な効率的推定を提供する。
• 浅い量子回路の出力やその他の相関の減衰を示す状態クラスに対しても本手法は有効であり、広範な適用可能性を確認する。
• トレース距離ではなく Wasserstein 距離を用いることが不可欠である。なぜなら、トレース距離では積状態ですら Ω(nε⁻²) のサンプルが必要であり、多対数的目標を満たさないからである。
• 共分散行列の条件数に関する新しいバウンディングのおかげで、特定の領域において効率的な後処理が可能になる。
• 局所性構造と最適輸送を活用することで、古典的シャドウに内在する局所性における指数的スケーリングを回避するアプローチが可能になる。

Figure 2: Performance on a Gibbs state from the family of Eq. ( 14 ) and the 8-local observable in Eq. ( 15 ). We have set the number of qubits to $100$ , $\beta=1.1$ and the $\lambda_{i}$ unformly at random between $0.5$ and $0.9$ . The $x$ -axis denotes the logarithm of the number of samples in ba