[論文レビュー] Lecture Notes on Equivariant Cohomology

Matvei Libine|arXiv (Cornell University)|Sep 23, 2007

Advanced Operator Algebra Research参考文献 22被引用数 19

ひとこと要約

本稿は、等長的コホロジーに関する包括的な講義ノートを提供し、Atiyah-BottおよびBerline-Vergneの局在定理に焦点を当てる。トポロジー的定義として、$E$ を $G$-空間としての可縮空間とするときのホモトピー商 $(M \times E)/G$ を用い、多様体に対する de Rham 手法を展開する。主な貢献は、等長的積分を固定点の和として表す Berline-Vergne 局在公式の導出であり、Kirillov のキャラクター公式や Duistermaat-Heckman の定理への応用を含む。

ABSTRACT

These are the lecture notes for the introductory graduate course I taught at Yale during Spring 2007. I mostly followed [GS], [BGV], [AB], [Par2], and there are no original results in these notes.

研究の動機と目的

• 大学院生向けに等長的コホロジーの自己完結的入門を提供すること。
• 多様体上のコンパクトなリー群作用に対して、トポロジカルおよび de Rham 的定義を確立すること。
• 等長的形式の積分に対する Berline-Vergne 局在公式の導出および解説。
• 等長的コホロジーと表現論の主要結果（例：Kirillov のキャラクター公式）との関係を示すこと。
• Witten の 1-形式とその等長的コホロジーにおけるプッシュフォワードの局在化における役割を提示すること。

提案手法

• 合同空間 $E$ が自由な $G$-作用を持つ可縮 $G$-空間であるとき、等長的コホロジーを $H^*_G(M) = H^*((M \times E)/G)$ として定義する。
• クラスファイイング bundle $EG \to BG$ を用いて、$E$ の選択に依存しない $G$-同倫的不変性を保証する。
• 主 $G$-バンドルの分類定理を用いて、$BG$ が普遍空間としての構成を正当化する。
• Hamiltonian ベクトル場 $\mathcal{H}$ が $\|\mu\|^2/2$ のものであるとき、Witten の 1-形式 $\lambda = (\mathcal{H}, \cdot)_M$ を導入し、等長的コホロジーにおける partition of unity を定義する。
• 等長的 partition of unity $1_M = \operatorname{P}_\lambda + d_{\text{eq}}\delta$ を構成し、$\operatorname{P}_\lambda$ を $\{\Phi_\lambda = 0\} = \operatorname{Cr}(\|\mu\|^2)$ の近傍に集中させる。
• フーリエ変換および緩和分布を用いて、$\mathcal{P}(\alpha)$ のプッシュフォワードを $\|\mu\|^2$ の臨界集合に局在化し、固定点の寄与による計算を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクトなリー群作用に対して、空間の上で等長的コホロジーをどのようにトポロジカルに定義できるか。
• RQ2 トポロジカル定義 $H^*_G(M) = H^*((M \times E)/G)$ と多様体上の de Rham モデルとの関係は何か。
• RQ3 Berline-Vergne の局在公式は、等長的積分を固定点の和としてどのように表現するか。
• RQ4 Witten の 1-形式は、$\|\mu\|^2$ の臨界点に等長的積分をどのように局在化するか。
• RQ5 $\operatorname{Cr}(\|\mu\|^2)$ の各成分の寄与は、プッシュフォワード $\mathcal{P}(\alpha)$ にどのように寄与するか。

主な発見

• クラスファイイング bundle $BG$ の一意性により、等長的コホロジー $H^*_G(M)$ は可縮 $G$-空間 $E$ の選択に依存しない。
• 作用が自由であるとき、$(M \times E)/G$ は $M/G$ とホモトピー同値であるため、この場合 $H^*_G(M) \cong H^*(M/G)$ が成り立つ。
• partition of unity $1_M = \operatorname{P}_\lambda + d_{\text{eq}}\delta$ を用いることで、等長的微分形式を局在化された部分と完全形式に分解できる。
• プッシュフォワード $\mathcal{P}(\alpha)$ は、$\operatorname{P}_\lambda \wedge \alpha \wedge e^{i\tilde{\omega}}$ のフーリエ変換に等しく、$\{\Phi_\lambda = 0\} = \operatorname{Cr}(\|\mu\|^2)$ に局在化される。
• $\operatorname{Cr}(\|\mu\|^2)$ の各成分の寄与は、正規バンドルを用いて計算可能であり、良い開集合 $U$ の選択に依存しない。
• 局在化公式は Duistermaat-Heckman の定理を回復し、コンパクトなリー群の Kirillov キャラクター公式を導く。