[論文レビュー] Lecture notes on Liouville theory and the DOZZ formula

Vincent Vargas|arXiv (Cornell University)|Dec 3, 2017

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 31被引用数 16

ひとこと要約

本稿は、確率的手法を用いて、リーマン球面上のLiouville conformal field theory (LCFT)における3点相関関数のDOZZ公式の初の数学的証明を提供する。LCFTはガウス自由場（GFF）およびガウス型乗法的確率測度（GMC）を用いて構成され、ポリヤコフのアプローチにより経路積分形式が正当化され、BPZ微分方程式、交差対称性、GMC測度の尾部展開を用いてDOZZ公式が証明され、確率論と2次元量子重力の間の厳密な接続が確立される。

ABSTRACT

The purpose of these notes, based on a series of 4 lectures given by the author at IHES, is to explain the recent proof of the DOZZ formula for the three point correlation functions of Liouville conformal field theory (LCFT). We first review the probabilistic construction of the $N$ point correlation functions of LCFT on the Riemann sphere for $N \geq 3$ (based on a series of works of the author with David, Kupiainen and Rhodes). We then explain the construction of the two point correlation functions of LCFT, also called reflection coefficient. These probabilistic constructions will be justified from the point of view of Polyakov's path integral formulation of LCFT. Finally, we explain the proof of the DOZZ formula for the three point correlation functions of LCFT (based on 2 papers by the author with Kupiainen and Rhodes).

研究の動機と目的

• 確率論を用いてLiouville conformal field theory (LCFT) の数学的基盤を厳密に確立すること。
• リーマン球面上のLCFTにおけるN ≥ 3のN点相関関数の確率的構成を確立すること。
• ガウス型乗法的確率測度（GMC）測度の尾部展開を用いて2点相関関数（反転係数）を導出すること。
• BPZ微分方程式および交差対称性を用いて3点関数のDOZZ公式を証明すること。
• KPZ予想およびギルサノフの定理を用いてLCFTの経路積分形式を正当化すること。

提案手法

• ガウス自由場（GFF）およびガウス型乗法的確率測度（GMC）を用いてLiouville測度を定義することでLCFTを構成する。
• ギルサノフの定理を用いて測度をシフトし、対数相関を持つGMC測度を含む期待値を計算する。
• GMCの尾部展開を応用して反転係数および2点関数を導出する。
• BPZ微分方程式および交差対称性を用いて3点関数の構造を制約する。
• KPZ予想を用いて、ランダム平面地図のスケーリング極限とLCFTを関連付ける。
• 発散する表現の正則化を伴うドーツェンコ＝ファテエフ積分の解析接続によりDOZZ公式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Liouville CFTにおける3点関数のDOZZ公式を、確率論を用いてどのように厳密に導出できるか？
• RQ2 無限次元関数空間におけるLiouville経路積分測度の確率的意味は何か？
• RQ3 2点相関関数（反転係数）は、GMC測度およびブラウン運動からどのように導かれるか？
• RQ4 BPZ微分方程式および交差対称性は、3点関数の形をどのように制約するか？
• RQ5 KPZ予想は、ランダム平面地図とLiouville量子重力とをどのように結びつけるか？

主な発見

• DOZZ公式は、GMCおよびギルサノフの定理に基づく確率的手法を用いて、厳密に証明された。
• 2点相関関数（反転係数）はGMC測度の尾部展開を用いて導出され、確率的計算で検証された。
• 3点関数はBPZ微分方程式および交差対称性を満たすことが示され、その一意な形が確認された。
• 経路積分形式のLCFTはKPZ予想を用いて正当化され、ランダム平面地図とLiouville量子重力が結びつけられた。
• DOZZ公式は、ドーツェンコ＝ファテエフ積分の解析接続として得られ、物理的妥当性が裏付けられた。
• 反転係数は、特定のべき乗法尾を持つGMC測度上の期待値として表現され、ギルサノフ変換によって検証された。