[論文レビュー] Lectures on Anomalies

Adel Bilal|ArXiv.org|Feb 5, 2008

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 10被引用数 55

ひとこと要約

本論文は、量子場の理論における異常について、包括的で自己完結的な入門を提供する。アーベル型および非アーベル型のカイラル異常を、関数的測度変換、三角フェルミオン図、インデックス定理の複数のアプローチにより導出し、それらの有限性、局所性、およびBRSTコhomologyと特徴的類との関係を確立する。主な貢献は、偶数次元における位相的不変量と異常を結びつける統一的枠組みの構築であり、標準模型および超弦理論への明示的応用を含む。

ABSTRACT

These lectures on anomalies are relatively self-contained and intended for graduate students who are familiar with the basics of quantum field theory. We begin with several derivations of the abelian anomaly: anomalous transformation of the measure, explicit computation of the triangle Feynman diagram, relation to the index of the Euclidean Dirac operator. The chiral (non-abelian) gauge anomaly is derived by evaluating the anomalous triangle diagram with three non-abelian gauge fields coupled to a chiral fermion. We discuss in detail the relation between anomaly, current non-conservation and non-invariance of the effective action, with special emphasis on the derivation of the anomalous Slavnov-Taylor/Ward identities. We show why anomalies always are finite and local. A general characterization is given of gauge groups and fermion representations which may lead to anomalies in four dimensions, and the issue of anomaly cancellation is discussed, in particular the classical example of the standard model. Then, we move to more formal developments and arbitrary even dimensions. After introducing a few basic notions of differential geometry, in particular characteristic classes, we derive the descent equations. We prove the Wess-Zumino consistency condition and show that relevant anomalies correspond to BRST cohomologies at ghost number one. We discuss why and how anomalies are related to characteristic classes in two more dimensions and outline their computation in terms of the index of an appropriate Dirac operator. Finally we derive the gauge and gravitational anomalies in arbitrary even dimensions from the appropriate index and explain the anomaly cancellations in ten-dimensional IIB supergravity and in type I and heterotic superstrings.

研究の動機と目的

• 大学院生向けに、量子場の理論における異常について、教育的で自己完結的な入門を提供すること。
• 測度変換、フェルミオン図、インデックス定理の複数の補完的導出により、異常発生の起源を明確にすること。
• 異常があらゆる次元において位相的性質に起因することから、その有限性および局所性を確立すること。
• 任意の偶数次元における異常をBRSTコhomologyおよび特徴的類と結びつけること。
• 標準模型および10次元の超重力理論および超弦理論における異常キャンセレーションを示すこと。

提案手法

• フェルミオン的経路積分測度がカイラルU(1)変換に対してどのように変化するかを調べ、アーベル型異常を導出する。
• 摂動論的計算により三角図（AVV）を計算し、異常的なカレントの保存が破れる要因を抽出する。
• 2次元およびそれ以上の偶数次元におけるインデックス定理を用いて、異常をユークリッド空間におけるディラック作用素のインデックスと関連付ける。
• 有効作用の不変性が破れるのを特徴付けるために、異常的なスラヴァノフ＝ターラーおよびウォードの恒等式を定式化する。
• 微分幾何学を用いてゲージバンドル、チャーン＝シモンズ形式、特徴的類を定義し、降下方程式を導出する。
• BRSTコホモロジーを用いて、異常をゴースト数1におけるコホモロジーの要素として分類し、ウェス＝ツミノ一致性条件を満たすことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 フェルミオン的測度は、カイラルU(1)ゲージ変換に対してどのように変化するのか。また、アーベル型異常を生成する上でのその役割は何か。
• RQ2 異常を三角図で計算する方法と、ディラック作用素のインデックスとの正確な関係は何か。
• RQ3 異常的なウォードおよびスラヴァノフ＝ターラー恒等式はどのように生じるのか。また、それらは不変でない有効作用を特徴付ける上で果たす役割は何か。
• RQ4 なぜ異常は常に有限かつ局所的なのか。これはどのようにその位相的起源に起因するのか。
• RQ5 降下方程式および高次元における特徴的類は、特に10次元の超重力理論および超弦理論において、異常をどのように分類・計算するのか。

主な発見

• アーベル型異常は、カイラルU(1)対称性の下でのフェルミオン的経路積分測度の異常的変換に起因し、カレントの保存が破れる。
• 三角図の計算により、有限かつ局所的な異常が得られ、その大きさは場強度テンソルの双対に比例する。これは4次元における異常構造の確認を示している。
• 異常は、2次元インスタントンの例で明示的に示されるように、2次元高い次元におけるディラック作用素のインデックスと直接関係している。
• 異常は、ゴースト数1におけるBRSTコホモロジーによって分類され、ウェス＝ツミノ一貫性条件を満たすことで、ゲージ変換のもとでの一貫性が保証される。
• 標準模型における異常キャンセレーションは、電弱相互作用領域におけるフェルミオン表現の正確な一致によって実現される。これは、対称性が破れていない状態および破れた状態の両方において成り立つ。
• 10次元のIIB超重力理論およびタイプIおよびヘテロティック超弦理論の場の理論的極限において、異常キャンセレーションは、高次元のチャーン＝シモンズ項からの流入を用いたグリーン＝シュヴァルツのメカニズムによって実現される。