[論文レビュー] Lectures on canonical and crystal bases of Hall algebras

Olivier Schiffmann|ArXiv.org|Oct 23, 2009

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 63被引用数 20

ひとこと要約

本稿では、表現のモジュライ空間上の関数の代わりに、構成可能層を用いたモジュライスタック上の perverse 层と Faisceaux-Fonctions 対応を用いて、Hall 環の幾何的カテゴリフィケーションを展開する。Hall 環の合成部分代数の幾何的上昇を、幾何的演算に関して閉じた三角的圏への層の圏として実現し、Nakajima のクイバー多様体内のラグランジュ部分多様体の既約成分を通じて、正規化基底を実現する。

ABSTRACT

These are the notes for a series of lectures given on the theory of canonical and crystal bases for Hall algebras (for a summer school in Grenoble in 2008). It may be viewed as a follow-up to arXiv:math/0611617. It covers the construction, due to Lusztig, of the canonical bases for the Hall algebra of a quiver Q in terms of a certain category of perverse sheaves over the moduli space of representations of Q. It also contains an exposition of Kashiwara and Saito's geometric construction of the crystal graph in terms of irreducible components of Lusztig's lagrangian in the cotangent bundle to the above moduli spaces. The last section deals with the Hall algebras of curves. It contains a few new results and conjectures. Apart from these, the text is purely expositional.

研究の動機と目的

• 表現のモジュライスタック上の構成可能層を用いた Hall 環の幾何的実現を提供すること。
• 幾何的演算に関して閉じた三角的圏として、Hall 環の合成部分代数のカテゴリフィケーションを構成すること。
• 得られた幾何的圏を、Nakajima のクイバー多様体内のラグランジュ部分多様体の既約成分を通じて、量子群の正規化基底に結びつけること。
• Nakajima のクイバー多様体を用いて、幾何的表現論と量子群の表現論との間の接続を確立すること。
• K-理論とホモロジーを用いた量子群作用と整形式モジュールの実現におけるクイバー多様体の役割を調査すること。

提案手法

• 幾何的起源の半単純複体の三角的部分圏として、$\mathcal{Q}_{\vec{Q}}$ を $D^b(\underline{\mathcal{M}}_{\vec{Q}})$ の中で最小のものとして定義し、幾何的乗法と余乗法の函手に関して閉じているものとする。
• 拡張をパラメトライズする対応スタック $\underline{\mathcal{E}}^{\alpha,\beta}$ を用いて、幾何的乗法函手 $\underline{m} = p_{2!}p_1^*$ と余乗法函手 $\underline{\Delta} = p_{1!}p_2^*$ を構成する。
• 分解定理を用いて $\underline{m}$ が半単純性を保つことを保証し、$\mathcal{Q}_{\vec{Q}}$ が適切に定義されていることを保証する。
• Faisceaux-Fonctions 対応を用いて、層のトレースと元の Hall 環 $\mathbf{H}_{\vec{Q}}$ における関数との関係を確立し、幾何的・代数的構造を結びつける。
• Nakajima のクイバー多様体 $\mathfrak{M}_{\mathbf{v},\mathbf{w}}$ 内のラグランジュ部分多様体 $\mathfrak{L}_{\mathbf{w}}$ の既約成分を用いて正規化基底を実現する。
• Nakajima の構成を用いて、-equivariant K-理論とホモロジー上での量子群作用を実現し、幾何と表現論を結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 クイバーの代数的 Hall 環は、どのように層論的構成を用いて幾何的にカテゴリフィケーション可能か？
• RQ2 Faisceaux-Fonctions 対応は、幾何的および代数的 Hall 環をどのように結びつけるか？
• RQ3 Nakajima のクイバー多様体内のラグランジュ部分多様体の既約成分は、どのようにして量子群の正規化基底を実現するか？
• RQ4 Nakajima のクイバー多様体は、どのようにして量子群の整形式最高重みモジュールをカテゴリフィケーションするか？
• RQ5 層上の幾何的演算は、Hall 環内の代数的演算とどのように対応するか？

主な発見

• 幾何的 Hall 圏 $\mathcal{Q}_{\vec{Q}}$ は、幾何的乗法と余乗法函手に関して閉じた半単純複体の三角的部分圏として構成される。
• $\underline{m} = p_{2!}p_1^*$ と $\underline{\Delta} = p_{1!}p_2^*$ の函手は、適切なおよび滑らかな写像を介して、それぞれ余結合的および結合的であることが示される。
• 分解定理により、幾何的乗法が半単純性を保つことが保証され、$\mathcal{Q}_{\vec{Q}}$ の構成が正当化される。
• Faisceaux-Fonctions 対応における層のトレースは、元の Hall 環 $\mathbf{H}_{\vec{Q}}$ における対応する関数を回復する。これにより、幾何的および代数的構造の橋渡しがなされる。
• Nakajima のクイバー多様体 $\mathfrak{M}_{\mathbf{v},\mathbf{w}}$ 内のラグランジュ部分多様体 $\mathfrak{L}_{\mathbf{w}}$ の既約成分は、上位の Borel-Moore ホモロジー群 $H^{top}(\mathfrak{L}_{\mathbf{w}})$ の基底をなす。これは、半正規化基底への射影と、予想では一致する。
• Nakajima は、古典的整形式最高重みモジュール $L_{\Lambda_{\mathbf{w}}}$ を $H^{top}(\mathfrak{L}_{\mathbf{w}})$ として実現し、畳み込みとヘッケ対応を用いて量子群作用を実現した。