[論文レビュー] Lectures on complex hyperbolic Kleinian groups

Michael Kapovich|arXiv (Cornell University)|Nov 28, 2019

Geometric and Algebraic Topology参考文献 73被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、複素双曲的ケイリーナ群（複素双曲的空間の等距変換の離散部分群）の包括的な探求を提示する。主な焦点は、複素双曲的多様体上の関数論と、これらの群の幾何学的・力学的性質との相互作用に向けられている。中心的貢献は、有界幾何構造とコン pact かつ強く擬凸境界を持つ完全なケーラー計量を備えた複素双曲的多様体が1端であることを、多重調和関数論と正則foliationを用いて証明することにある。

ABSTRACT

These are lectures on discrete groups of isometries of complex hyperbolic spaces, aimed to discuss interactions between the function theory on complex hyperbolic manifolds and the theory of discrete groups.

研究の動機と目的

• 複素双曲的多様体上の関数論と、離散的正則等距変換群の幾何学的・力学的性質との相互作用を調査すること。
• 多重調和関数と境界挙動の解析を通じて、複素双曲的多様体に課される位相的制約を確立すること。
• 有界幾何構造と完全なケーラー計量、コン pact かつ強く擬凸境界を備えた複素双曲的多様体が1端であることを証明すること。
• 特に端と幾何的有限性に関する、実双曲的幾何からの技術を複素設定へと拡張すること。
• 複素解析、ケーラー幾何、複素双曲空間における離散群作用の間の概念的ブリッジを提供すること。

提案手法

• 複素双曲的空間 $\mathbb{H}^n_{\mathbb{C}}$ を、符号数 $(n,1)$ のヘルミート形式から導かれるバーグマン計量を備えた $\mathbb{C}^n$ 内の単位球体として用いる。
• 特に、多重上昇関数と境界幾何を用いた、複素多様体における強く擬凸領域の理論を適用する。
• 多重調和関数 $\beta$ に対して定義される $\partial\beta$ による正則foliationを用い、複素部分多様体上での最大原理の議論を導出する。
• ホロ関数コンactificationとグロモフ双曲的性の概念を用いて、負に曲がった多様体における端の構造を分析する。
• 特に、このような多様体が $n$ 次元CW複体とホモトピー同値であるという事実を含む、ステイン多様体理論と複素多様体のホモトピー型に関する定理を適用する。
• 正則写像がステイン空間へ正則に写すという、ロッシの定理のような複素解析の定理を、単位的半径と曲率の上限という幾何的仮定と組み合わせて応用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクトで強く擬凸境界を持つ複素双曲的多様体が、境界で消える非定数の多重調和関数をもつための条件は何か？
• RQ2 完全なケーラー計量と有界幾何構造を備えた多様体において、その端の数にどのような制約が生じるか？
• RQ3 複素双曲的幾何の文脈において、境界の位相と多様体のグローバル位相との関係は何か？
• RQ4 正則foliation理論と最大原理を用いて、複素双曲的多様体の位相的剛性を示すことは可能か？
• RQ5 実双曲的幾何における結果（例：厚み-薄み分解、臨界指数）は、どの程度複素双曲的設定へと拡張可能か？

主な発見

• 完全なケーラー計量と有界幾何構造、コンパクトで空でない滑らかな強く擬凸境界を備えた複素双曲的多様体 $M$ は1端である。
• 次元 $\dim X \geq 2$ の条件下で、コンパクトで強く擬凸境界 $\partial M$ で消える任意の多重調和関数は、$M \subset X$ 上で恒等的にゼロである。
• 完全なケーラー計量と有界幾何構造、連結境界、および2つ以上の端を備えた $M$ に対しては、境界でゼロに収束する非定数の多重調和関数が存在する。
• 空でない境界を備えたコンパクトで強く擬凸な複素 $n$ 次元多様体のホモトピー型は、$(2n-2)$ 次元CW複体と同値である。
• 内部 $\operatorname{int}(M)$ からステイン空間への正則な全射写像が存在する場合、$\operatorname{int}(M)$ に正の次元のコンパクトな複素部分多様体が含まれない限り、$\operatorname{int}(M)$ はステイン多様体である。
• 1端性の証明は、正則foliationの葉への厳密に多重上昇関数の制限に最大原理を適用した結果、導かれる矛盾に依拠している。