[論文レビュー] Lectures on extended affine Lie algebras

Erhard Neher|arXiv (Cornell University)|Mar 11, 2010

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 34被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、拡張されたアフィンリー代数（EALAs）について包括的な導入を行い、有限次元半単純、アフィン、トロイダルリー代数を共通の公理的枠組みの下で統一する。すべてのEALAsが、不変リー・トーラスを用いた中心拡大および導分を通して得られることを確立し、構成 $ \operatorname{E}(L,D,\tau)$ による完全な分類がなされている。ここで $L$ は不変リー・トーラス、$D$ は特別な導分の次数付き部分代数、$\tau$ はアフィンコサイクルである。

ABSTRACT

We give an introduction to the structure theory of extended affine Lie algebras, which provide a common framework for finite-dimensional semisimple, affine and toroidal Lie algebras. The notes are based on a lecture series given during the Fields Institute summer school at the University of Ottawa in June 2009.

研究の動機と目的

• 大学院生および研究者向けに、拡張されたアフィンリー代数（EALAs）の理論について構造的かつアクセス可能な導入を提供すること。
• 有限次元半単純、アフィン・カック＝ムーディ、およびトロイダルリー代数を共通の公理的構造の下で統一すること。
• 不変リー・トーラス、中心拡大、および導分を用いて、すべてのEALAsの一般的構成を確立すること。
• 整数値EALAsを、単射評価写像およびアフィンコサイクルを用いて $\mathbb{C}$ 上で特徴付けること。
• 構造的解析のための基礎的ツール、たとえばアフィン反射系、リー・トーラス、中心的導分を提示すること。

提案手法

• 根空間分解と非退化的不変双線形形式に注目しながら、公理 (EA1)–(EA4) を用いてEALAsを定義する。
• EALAsの根系の枠組みをなすアフィン反射系を導入し、アフィン根系を一般化する。
• Lie括弧が作用およびコサイクルを含む $[l_1 \oplus c_1 \oplus d_1, l_2 \oplus c_2 \oplus d_2]$ によって定義される一般式 $\operatorname{E}(L,D,\tau) = L \oplus D^{\mathrm{gr}*} \oplus D$ を用いてEALAsを構成する。
• リー・トーラスの中心および中心的導分を用いて、EALAsを体系的に分類および構成する。
• 次数写像および次数付き導分を用いて、EALAのコアおよび中心なしコアの構造を定義する。
• 非退化的かつ不変な双線形形式 $ (\cdot|\cdot) $ を用いて、構成された代数 $\operatorname{E}(L,D,\tau)$ が公理 (EA1)–(EA4) を満たすことを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限次元半単純、アフィン、およびトロイダルリー代数を、一つの代数的枠組みで統一する方法は何か？
• RQ2 拡張されたアフィン根系の構造的性質は何か？ また、アフィン根系をどのように一般化するか？
• RQ3 すべての拡張されたアフィンリー代数を、不変リー・トーラスから体系的に構成する方法は何か？
• RQ4 特に $\mathbb{C}$ 上で、EALA が離散的であるための条件は何か？
• RQ5 中心拡大および導分は、EALAsの分類において果たす役割は何か？

主な発見

• すべての拡張されたアフィンリー代数は、$L$ が不変リー・トーラス、$D$ が特別な導分の次数付き部分代数、$\tau$ がアフィン2次コサイクルである構成 $\operatorname{E}(L,D,\tau)$ から得られる。
• EALAのコアは $L \oplus D^{\mathrm{gr}*}$ であり、中心なしコアは $L$ であり、これは不変リー・トーラスである。
• 代数 $\operatorname{E}(L,D,\tau)$ 上の対称双線形形式 $ (\cdot|\cdot) $ は非退化的かつ不変であり、EALAの公理を満たすことを保証する。
• $\mathbb{C}$ 上では、離散的EALAは単射評価写像 $\Lambda \to D^{0*}$ およびアフィンコサイクル $\tau$ によって特徴付けられる。
• EALAsの構造は、アフィン・カック＝ムーディ代数と類似している：一般化されたループ代数（不変リー・トーラス）の中心拡大に加えて導分が付加されている。
• EALAsの分類は、不変リー・トーラスおよびその特別な導分の分類に帰着され、行列代数およびローレンツ多項式を用いた具体的な実現が可能である。