[論文レビュー] Lectures on Foliation Dynamics: Barcelona 2010

Steven Hurder|arXiv (Cornell University)|Apr 26, 2011

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 49被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、葉の漸近的挙動、最小集合、および葉層付き多様体における横断的幾何構造に焦点を当てた、葉層の力学に関する包括的なサーベイを提示する。形状力学とマッチボックス多様体近似を導入し、最小集合を分類する。トポロジー的不変量、エントロピー、ホロノミー・コサイクルを結びつけることで、古典的な微分同相写像力学を超えたカオス的および双曲的挙動を理解することを目的とする。

ABSTRACT

This survey is based on a series of five lectures, given May 3--7, 2010, at the Centre de Recerca Matematica, Barcelona. The goal of the lectures was to present aspects of the theory of foliation dynamical systems which have particular importance for the classification of foliations of compact manifolds. The lectures emphasized intuitive concepts and informal discussion, while taking the reader into topics of active research in this subject. These notes update and expand on the lectures, and include more recent progress. This article also includes an extensive set of references, as well as highlighting many open questions and problems. A set of "homework problems" is also included, one for each day of lecture.

研究の動機と目的

• コンパクト多様体の葉層を、エントロピー、軌道の増加、最小集合などの動的不変量を用いて分類するための枠組みを構築すること。
• 葉層の力学における不変測度の不在を補うために、形状力学とマッチボックス多様体による位相的近似を導入すること。
• 双曲性、リャプノフ指数、エントロピーの概念を、葉の幾何とその横断的構造の分析を通じて、葉層に拡張すること。
• 葉層の分類写像のホモトピー型とその動的性質との関係、特にゴッドビロン＝ヴェー類と代数的K理論との関係を明らかにすること。
• マッチボックス多様体に対するスーリヴァン予想の一般化を定式化し、葉層群の分類空間における動的サイクルを表現する役割を明らかにすること。

提案手法

• 形状力学と分岐多様体の逆極限を用いて、葉層の最小集合を近似し、それらをマッチボックス多様体として扱う。
• 最小集合 $rak{M}$ の $ ho$-分解を用いて、ホロノミー群のoidから $ ext{GL}(q,bR)$-値コサイクルを上昇させ、正規指数の定義を可能にする。
• 局所エントロピー $h_{ ext{loc}}(rak{G}_{rak{F}}, w)$ を、最小集合の形状に関連する動的不変量として導入する。
• 分類写像 $ u: M o B ext{GL}(q,bR)$ 及びその上昇 $rak{H}_{rak{M}}: Brak{ ilde{rak{M}}} o B ilde{rak{rak{M}}}$ の関手的性質を用いて、トポロジーと力学を結びつける。
• メイザー＝サーストンの定理を活用し、$B ilde{rak{rak{M}}}$ のループ空間のコホモロジーと微分同相写像群の群コホモロジーを結びつける。
• $rak{ ilde{rak{M}}}$-コサイクルとホロノミー写像の微分を用いて、形状近似上の測地線流れのための正規指数系を定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 最小集合の形状力学に基づいて、どのような動的不変量を定式化できるか？
• RQ2 形状近似上の測地線流れに非ゼロの正規指数が存在する場合、それは最小集合の双曲的性質とどのように関係するか？
• RQ3 分類写像 $rak{H}_{rak{M}}$ のホモトピー型と最小集合の動的構造の間にはどのような関係があるか？
• RQ4 最小集合を解体するマッチボックス多様体は、代数的K理論に関連する一般化されたコホモロジー理論における一般化されたサイクルとして解釈可能か？
• RQ5 葉層における指数的軌道増加が正エントロピーを示す条件は何か？ そしてそれはリャプノフスペクトルとどのように関連するか？

主な発見

• 局所エントロピー $h_{ ext{loc}}(rak{G}_{rak{F}}, w)$ は、形状力学的不変量として定義され、最小集合内の点 $w$ の近傍における横断的カオスの尺度を提供する。
• 最小集合 $rak{M}$ が双曲的型の形状力学を持つのは、その分解 $ ho: rak{M} o rak{Z}$ が双曲的ホロノミー要素の集合 $ extbf{H}_{rak{F}}$ と交わるときであり、非ゼロの正規指数を含むことを示唆する。
• ホロノミー写像の微分は、$rak{M}$ のホモトピー群のoid上で $GL(q,bR)$-値コサイクル $D ho$ を誘導し、葉方向の測地線流れのためのリャプノフ指数の定義を可能にする。
• 分類写像 $rak{H}_{rak{M}}: Brak{ ilde{rak{M}}} o B ilde{rak{rak{M}}}$ は、$rak{M}$ の形状力学にのみ依存し、トポロジーと力学の間の関手的リンクを確立する。
• メイザー＝サーストンの定理により、$H^*( ext{ホロノミー群のoid}) o H^*( ext{Diff}_c^r(bR^q))$ が成り立ち、葉層の力学と群コホモロジーを結びつけ、より深い代数的構造を示唆する。
• 本稿は、最小集合を解体するマッチボックス多様体が、代数的K理論の数体への関連する一般化コホモロジー理論におけるサイクルを表す可能性があると示唆している。$B ilde{rak{rak{M}}}$ を通じてその可能性が示唆される。