[論文レビュー] Lectures on Linear Algebra over Division Ring

Aleks Kleyn|arXiv (Cornell University)|Jan 9, 2007

Advanced Topics in Algebra参考文献 2被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、非可換性を考慮しながら、ベクトル空間、連立一次方程式、テンソル積といった概念を一般化することで、除法環上の線形代数を展開する。双対表現、準行列式、行列への双環構造を導入し、左構造と右構造の双対性を確立することで、非可換幾何における受動的変換と能動的変換の関係を明確にする。

ABSTRACT

In this book i treat linear algebra over division ring. A system of linear equations over a division ring has properties similar to properties of a system of linear equations over a field. However, noncommutativity of a product creates a new picture. Matrices allow two products linked by transpose. Biring is algebra which defines on the set two correlated structures of the ring. As in the commutative case, solutions of a system of linear equations build up right or left vector space depending on type of system. We study vector spaces together with the system of linear equations because their properties have a close relationship. As in a commutative case, the group of automorphisms of a vector space has a single transitive representation on a frame manifold. This gives us an opportunity to introduce passive and active representations. Studying a vector space over a division ring uncovers new details in the relationship between passive and active transformations, makes this picture clearer. Considering of twin representations of division ring in Abelian group leads to the concept of D vector space and their linear map. Based on polyadditive map I considered definition of tensor product of rings and tensor product of D vector spaces.

研究の動機と目的

• 体から除法環への線形代数的概念（ベクトル空間、基底、連立一次方程式など）の一般化を図ること。非可換性により生じる新たな構造的複雑性を考慮する。
• 非可換設定におけるクラメルの定理の不成立を解消するため、準行列式と行列への双環構造を導入すること。
• 双対表現を用いて左および右のベクトル空間構造を統一し、受動的変換と能動的変換の関係を明確にする双対性原理を確立すること。
• 多線形写像と普遍性を用いて、除法環のベクトル空間と環のテンソル積を定義することで、古典的構成を非可換代数へ拡張すること。
• 除法環の構造とそのモジュラへの作用に基づいて、非可換線形代数の幾何的および表現論的枠組みを提供すること。

提案手法

• 行列への双環構造を用いて、両側積（左および右）をモデル化し、行操作と列操作の間の双対性を可能にする。
• 転置によって結びつけられた2つの異なる積を用いて定義される、行列式の非可換版としての準行列式を導入し、クラメルの定理を一般化する。
• 自由モジュールの普遍性と商構成を用いて、基底体 F 上の D-ベクトル空間のテンソル積を定義する。
• 体 F 上の多線形写像を用いて、N が双線形性関係を符号化する因子モジュラ M/N を通じてテンソル積を構成する。
• 除法環 D のアーベル群上における双対表現として D-ベクトル空間を定義し、一貫した左および右モジュラ構造を可能にする。
• 自然な射影 j: M → M/N と普遍な準同型 h: M/N → V を含む可換図式を確立し、テンソル積の普遍性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非可換性のためクラメルの定理が成立しないことから、連立一次方程式の理論を体から除法環へどのように拡張できるか。
• RQ2 除法環上での連立一次方程式の解法において、準行列式が果たす役割は何か。
• RQ3 アーベル群上における除法環の双対表現が、D-ベクトル空間およびその線形写像の一貫した定義にどのように寄与するか。
• RQ4 行列への双環構造が、非可換線形代数における行列積と転置の双対性をどのように一般化するか。
• RQ5 基底体上での多線形写像と普遍性を用いて、D-ベクトル空間のテンソル積をどのように構成できるか。

主な発見

• D-ベクトル空間 V₁ ⊗ ... ⊗ Vₙ は、M/N として構成される。ここで M は F × D 上の自由モジュラで、V₁ × ... × Vₙ を生成元とする。N は双線形性関係を生成する部分モジュラである。
• f: V₁ × ... × Vₙ → M/N で f(v₁, ..., vₙ) = v₁ ⊗ ... ⊗ vₙ と定義される写像は、F 上の多線形写像の普遍性を満たす。
• テンソル積 V₁ ⊗ ... ⊗ Vₙ は、D₁ ⊗ ... ⊗ Dₙ における両側加群（bimodule）としての構造を持つ。これは、可換代数におけるテンソル積の両側加群構造を一般化する。
• 自然な射影 j: M → M/N により、f の像が M/N を生成することが保証され、写像 g に対して h: M/N → V は一意に定まる。
• 構成により、v₁ ⊗ ... ⊗ (vᵢ + wᵢ) ⊗ ... ⊗ vₙ = v₁ ⊗ ... ⊗ vᵢ ⊗ ... ⊗ vₙ + v₁ ⊗ ... ⊗ wᵢ ⊗ ... ⊗ vₙ および v₁ ⊗ ... ⊗ (a vᵢ) ⊗ ... ⊗ vₙ = a (v₁ ⊗ ... ⊗ vᵢ ⊗ ... ⊗ vₙ) が成り立つことが確認され、テンソル積の双線形性が保証される。
• i, j, k, h を含む可換図式を用いてテンソル積の普遍性が証明され、任意の多線形写像 g が一意に h を通じて因数分解されることを示している。