[論文レビュー] Noncommutative symmetric functions

Israel M. Gelfand, Daniel Krob+4 more|ArXiv.org|Jul 20, 1994

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 24被引用数 160

ひとこと要約

この論文は、非可換生成子をもつ自由な結合代数上に定義された、非可換基本、完全、および冪和対称関数の非可換類似物を用いて、非可換対称関数の包括的な理論を提示する。非可換対称関数と準確定行列式、降下代数、有理級数との関係を確立し、リボン・シュール関数が多項式基底をなしており、非可換類似の古典的恒等式（例えば、ケイリー・ハミルトンの定理やパデ近似）が、自動機的およびホップ代数的技法によって成立することを示している。

ABSTRACT

This paper presents a noncommutative theory of symmetric functions, based on the notion of quasi-determinant. We begin with a formal theory, corresponding to the case of symmetric functions in an infinite number of independent variables. This allows us to endow the resulting algebra with a Hopf structure, which leads to a new method for computing in descent algebras. It also gives unified reinterpretation of a number of classical constructions. Next, we study the noncommutative analogs of symmetric polynomials. One arrives at different constructions, according to the particular kind of application under consideration. For example, when a polynomial with noncommutative coefficients in one central variable is decomposed as a product of linear factors, the roots of these factors differ from those of the expanded polynomial. Thus, according to whether one is interested in the construction of a polynomial with given roots or in the expansion of a product of linear factors, one has to consider two distinct specializations of the formal symmetric functions. A third type appears when one looks for a noncommutative generalization of applications related to the notion of characteristic polynomial of a matrix. This construction can be applied, for instance, to the noncommutative matrices formed by the generators of the universal enveloping algebra $U(gl_n)$ or of

研究の動機と目的

• 非可換生成子をもつ自由結合代数における対称関数の再解釈を通じて、古典的対称関数理論の非可換類似を構築すること。
• 降下代数を非可換的特徴関数環の類似物として用いることで、対称関数と表現論の間の基本的関係の非可換版を確立すること。
• 行列式の関係、オイラー多項式、ケイリー・ハミルトンの定理といった古典的恒等式を、準確定行列式と有理級数を用いて非可換設定に拡張すること。
• シューツェンベルガーの定理を用いて、非可換対称関数と自動機理論および有理級数を結びつけ、この文脈において認識可能級数と有理級数が一致することを示すこと。
• 非可換対称関数のホップ代数的構造を通じて、リーイデアル、オイラーイデアル、連続的なバーキャンプ・ハウスドルフ公式を統一的に扱うフレームワークを提供すること。

提案手法

• 非可換基本、完全、および冪和対称関数を、重みで分類する自由結合代数 $\mathbf{Sym} = K\langle \Lambda_1, \Lambda_2, \ldots \rangle$ の元として定義する。
• 準確定行列式を用いて構成されるリボン・シュール関数を、シュール関数の非可換類似物として導入し、$\mathbf{Sym}$ の多項式基底をなすことを証明する。
• 非可換対称関数の古典的恒等式の非可換類似を用いて、異なる基底（例：$S$、$\Lambda$、$\Psi$、$\Phi$、$R$）間の変換行列を確立する。
• $\mathbf{Sym}$ 上にホップ代数的構造を構成し、ソロモンの降下代数 $\Sigma_n$ の積と同型な内部積を定義する。
• 有理非可換級数を自動機的モデルで表現し、アルファベット $A$ 上の $K$-自動機の振る舞いが認識可能級数を生成することを示す。
• シューツェンベルガーの定理を適用して、有理級数と認識可能級数を同等とみなす。行列のスターをラベル付き有向グラフ上の経路の列挙により実現し、非可換ケイリー・ハミルトンの定理を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可換でない生成子をもつ非可換設定において、古典的対称関数理論をどのように一般化できるか？
• RQ2 シュール関数基底の非可換類似物は何か？ そして、これらの関数の中で、どの関数が生成子に関して多項式のままであるか？
• RQ3 非可換基底（例：$S$ と $R$）間の変換行列は、ヤコビ＝トゥーリの公式のような古典的恒等式をどのように一般化するか？
• RQ4 非可換対称関数は、対称群の群代数における降下代数やリーイデアルとどのように関係するか？
• RQ5 有理非可換級数は自動機によって特徴づけられるか？ そして、これにより非可換ケイリー・ハミルトンの定理がどのように導かれるか？

主な発見

• リボン形状で添字づけられるリボン・シュール関数は、非可換対称関数代数 $\mathbf{Sym}$ の線形基底をなしており、$\Lambda_k$ 生成子に関して多項式である唯一の準シュール関数である。
• ホップ代数的構造によって誘導される $\mathbf{Sym}$ 上の内部積は、ソロモンの降下代数 $\Sigma_n$ の積に対応し、表現のクロネッカー積の非可換類似を確立する。
• 行列式を準確定行列式に置き換えることで、非可換類似の古典的恒等式（ヤコビ＝トゥーリの公式および双対ヤコビ＝トゥーリの公式）が成立する。
• 非可換オイラー多項式および三角関数は理論から自然に導かれる。$\Sigma_n$ 内のオイラーイデアルは、非可換対称関数の観点から単純な解釈をもつ。
• 一般の $n \times n$ 行列 $A = (a_{ij})$ のスターは、ラベル付き自動機上の経路の和の公式で与えられ、$A^* = I + A A^*$ を通じて非可換ケイリー・ハミルトンの定理が得られる。
• 有理非可換級数 $K\langle\langle A\rangle\rangle$ はシューツェンベルガーの定理により認識可能級数と同等であり、$K$-自動機の振る舞いはグラフ上の経路に関する形式的和として $A^*$ の成分を計算する。