[論文レビュー] Special Lagrangian Fibrations II: Geometry

Mark Gross|ArXiv.org|Sep 14, 1998

Geometry and complex manifolds参考文献 24被引用数 43

ひとこと要約

この論文は、Calabi-Yau多様体上の特別ラグランジュ被覆の幾何学を調査し、双対被覆を用いた鏡像多様体の構成に注目している。特別ラグランジュ被覆の存在を仮定することで、シンプレクティック幾何と複素幾何を用いて双対被覆を定義し、Torelli定理に依存せずに鏡像K3多様体を構成する。次に、Yauの定理と楕円被覆上の調和形式解析を活用して、次元2における鏡像対称性を達成する。

ABSTRACT

We continue the study of the Strominger-Yau-Zaslow mirror symmetry conjecture. Roughly put, this states that if two Calabi-Yau manifolds X and Y are mirror partners, then X and Y have special Lagrangian torus fibrations which are dual to each other. Much work on this conjecture is necessarily of a speculative nature, as in dimension 3 it is still a very difficult problem of how to construct such fibrations. Nevertheless, assuming the existence of such fibrations there are many things one can prove. This paper covers a number of issues. First it applies results from the theory of completely integrable hamiltonian systems to understand some aspects of the geometry of such fibrations. From this, using reasonable regularity assumptions on the fibrations, one can understand how the cohomology of dual fibrations are related. We then study the question of how, given one such fibration, one would put a symplectic and complex structure on the dual fibrations, generalising work of Hitchin. While this question cannot be answered at this stage, these results should give insight into the nature of the problem. We sum up these ideas in a refined version of the Strominger-Yau-Zaslow conjecture. Finally, to give evidence for this conjecture, we prove it explicitly for K3 surfaces. One finds a construction of mirror symmetry for K3 surfaces which does not require the use of Torelli theorems, and is much more differential geometric in nature than previous constructions.

研究の動機と目的

• Calabi-Yau多様体上の特別ラグランジュ被覆の幾何的性質を、Strominger-Yau-Zaslow鏡像対称性予想の文脈で探求すること。
• 特別ラグランジュ被覆が存在する場合に、双対被覆を用いてCalabi-Yau三様体の鏡像多様体を構成する方法を確立すること。
• K3多様体に対しては、Torelli定理を用いずに特別ラグランジュ被覆から直接鏡像を構成できることを示すこと。
• 構成された鏡像が、ホッジ数の交換とケーラー形式の正定性を含む、必要なコhomological鏡像対称性の条件を満たしていることを検証すること。
• 例外的除因子を除く同調的データを用いて、鏡像の複素構造とケーラー形式が一意に決定できることを示すこと。

提案手法

• 特別ラグランジュ被覆 $ f: X \to B $ の存在を仮定し、正則部分集合の幾何とそのシンプレクティック構造に注目する。
• Duistermaatのグローバル作用角座標理論を適用し、基底 $ B $ の余接 bundle を用いて、被覆の正則部分に標準座標を構成する。
• 特別ラグランジュ部分多様体が体積を最小化することを踏まえ、被覆の正則性と挙動に関する期待を導く。
• 被覆層 $ R^1f_{0*}\mathbb{R}/R^1f_{0*}\mathbb{Z} $ を用いて双対被覆 $ \check{X}_0 \to B_0 $ を構成し、それをコンact化して $ \check{X} $ を得る。
• Yauの定理を適用し、ホロモーフィック2形式の実部のコhomology類が正で(1,1)型であることを保証することで、鏡像にリッチ平坦ケーラー計量を構成する。
• ホッジ分解と双対性を用いて $ \Omega $, $ \check{\Omega} $, $ \omega $, $ \check{\omega} $ のコhomology類を関連付け、$ B $-field の不確実性をセクションの選択によって解消する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Calabi-Yau多様体上の特別ラグランジュ被覆を用いて、Torelli定理に依存せずにその鏡像多様体をどのように構成できるか。
• RQ2 特別ラグランジュ被覆から構成された双対被覆が、鏡像に適切な複素構造を与えるために必要な条件は何か。
• RQ3 元の多様体と鏡像多様体におけるホロモーフィック形式およびケーラー形式のコhomologicalデータが、鏡像対称性の条件をどのように満たすか。
• RQ4 双対被覆における別のゼロセクションの選択によって、$ B $-field の不確実性をどの程度解消できるか。
• RQ5 調和形式と体積最小化は、鏡像ケーラー構造の存在と一意性を保証するために果たす役割は何か。

主な発見

• 鏡像K3多様体 $ \check{S}_K $ は、$ S $ 上の特別ラグランジュ被覆から直接構成され、Torelli定理に依存しない。
• 鏡像上のホロモーフィック2形式 $ \Omega $ のコhomology類は例外的除因子 $ E $ を除いて決定され、$ [\Omega]^2 = 0 $ を満たすため、正規化を除いてその類が一意に定まる。
• ケーラー類 $ [\mathop{\rm Re}\check{\Omega}] $ が正で(1,1)型であることが示され、Yauの定理により一意のリッチ平坦ケーラー計量の存在が保証される。
• ゼロセクション $ \sigma_0 $ の再定義により、$ B $-field の不確実性が解消され、鏡像構造の一意性が保証される。
• 鏡像対称性の関係 $ \mathop{\rm Im}\check{\Omega} \propto \omega $, $ \mathop{\rm Im}\Omega \propto \check{\omega} $, および $ \mathop{\rm Re}\check{\Omega} - \sigma_0 = \mathbf{B} $ が、$ E $ を除くコhomological同値性の意味で成り立つ。
• 鏡像ファイバーの体積は $ \mathop{\rm Vol}(\check{S}_b) = 1/\mathop{\rm Vol}(S_b) $ を満たし、ファイバー体積の期待される双対性が確認される。