[論文レビュー] Lectures on supergeometry

G. Sardanashvily|ArXiv.org|Oct 1, 2009

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 24被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、Z2-graded可換環、graded多様体、super多様体に焦点を当て、理論物理学への応用を含め、super幾何学の包括的な導入を提供する。super接続、graded主 bundle、graded多様体上の接続の数学的枠組みを確立し、特定の条件下でgraded多様体とDeWitt super多様体が同値であることを示している。

ABSTRACT

Elements of supergeometry are an ingredient in many contemporary classical and quantum field models involving odd fields. For instance, this is the case of SUSY field theory, BRST theory, supergravity. Addressing to theoreticians, these Lectures aim to summarize the relevant material on supergeometry of modules over graded commutative rings, graded manifolds and supermanifolds.

研究の動機と目的

• SUSY、BRST、超重力の分野で活動する理論物理学者がsuper幾何学を体系的かつアクセス可能な形で学べる基盤を提供すること。
• graded多様体とDeWitt super多様体の違いと同値性を明確にし、基礎的な曖昧さを解消すること。
• Z2-graded可換代数の枠組み内で、graded微分幾何学の形式的体系を構築し、接続、super接続、主bundleを含めること。
• graded多様体およびsuper多様体の文脈において、graded主bundleと通常の主bundleの同値性を確立すること。
• 不変な分解を用いてgraded接続を定義・特徴づけ、古典的接続をsuper幾何的状況に一般化すること。

提案手法

• 基礎的な代数的構造として、graded可換環上のZ2-graded加群および層を用いる。
• gradedテンソル計算およびgraded微分計算（graded導分およびgraded外積代数を含む）を導入する。
• smooth多様体上のgraded可換代数の層を用いてgraded多様体を定義し、supervector空間の層を用いてsuper多様体を定義する。
• 定理6を用いてgraded多様体とDeWitt H^∞-super多様体の同値性を確立し、互いに再構成可能であることを示す。
• G-super多様体の圏において、graded加群構造を用いてsupervector bundleおよびsuper接続を構成する。
• graded Lie群の自由かつ正則な右作用を持つ局所自明な埋め込みとしてgraded主bundleを定義し、graded接続を微分形式の層の不変な分解として導入する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 graded多様体とsuper多様体はどのように関係し、どのような意味で同値なのであるか？
• RQ2 可換幾何学を非可換幾何学に還元せずに一般化する、super幾何学の正しい代数的枠組みは何か？
• RQ3 graded多様体およびsuper多様体の文脈において、接続および主bundleはどのように定義できるか？
• RQ4 graded Lie群の右作用がgraded多様体上で定義されたとき、商が自身でgraded多様体であるための条件は何か？
• RQ5 graded接続は、super幾何学および主bundleの文脈において、古典的接続をどのように一般化するのか？

主な発見

• graded多様体とDeWitt super多様体は同値である：任意のgraded多様体はDeWitt H^∞-super多様体を定め、逆も同様（定理6）。
• graded微分計算はZ2-graded導分に基づき、非可換幾何学とは明確に異なり、一貫性のあるsuper代数的性質を保証する。
• graded加群のテンソル積にはgraded交換則が含まれ、外積代数は関係式 $ q \wedge q' = -(-1)^{[q][q']} q' \wedge q $ によって定義される。
• graded主bundle上のsuper接続は、graded Lie群の右作用に関して不変な $ \mathfrak{g} $-値graded接続形式として定義される。
• graded Lie群 $ (G, \mathcal{G}) $ がgraded多様体 $ (Z, \mathcal{A}) $ に右作用するとき、その作用がregularであるための必要十分条件は、商 $ (Z/G, \mathcal{A}/\mathcal{G}) $ がgraded多様体であることである（定理11.2）。
• gradedファイバーbundleのjetバンドル $ J^1(Z/X) $ は自身でgraded多様体であり、これによりgraded接続をequivariantなセクションとして定義する代替的定義が可能になる。