[論文レビュー] Gauge gravitation theory from the geometric viewpoint

G. Sardanashvily|ArXiv.org|Dec 20, 2005

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 114被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、ファイバー束幾何を用いてヤン・ミルズゲージ理論の原理と一般相対性理論を統合することで、ゲージ重力理論の幾何的基盤を提供する。ゲージ重力理論が一般共変性を組み込むために自然束およびゲージ自然束を必要とすることを確立し、さらに階数付き多様体とスペクトル三重項を用いて高次元、超ゲージ、非可換重力へと枠組みを拡張する。

ABSTRACT

This is the Preface to the special issue of 'International Journal of Geometric Methods in Modern Physics', v.3, N.1 (2006) dedicated to the 50th aniversary of gauge gravitation theory. It addresses the geometry underlying gauge gravitation theories, their higher-dimensional, supergauge and non-commutatuve extensions.

研究の動機と目的

• ヤン・ミルズゲージ理論とアインシュタインの一般相対性理論を統合する幾何的枠組みを確立すること。
• ゲージ理論的重力理論において一般共変性と tetrad 場を組み込む課題に取り組み、標準ヤン・ミルズ理論には直接的な類似物が存在しないこと。
• 階数付き多様体とスペクトル三重項といった高度な幾何的構造を用いて、ゲージ重力理論を高次元的、超ゲージ的、非可換的状況へと拡張すること。
• 主バンドル、関連バンドル、およびジャンプバンドルが、幾何的に一貫した方法でゲージ接続およびその変換を定式化する上で果たす役割を明確にすること。
• 適切な幾何的対象（例：$G$-超多様体、$H^\infty$-超多様体）を同定することで、量子的および非可換重力の基礎を提供すること。

提案手法

• 滑らかな多様体 $X$ 上のファイバー束のセクションとして古典場を表現するファイバー束幾何を用いる。ゲージ場は主 $G$-バンドル $P \to X$ 上の主接続として記述される。
• ゲージポテンシャルを接続バンドルの全局的セクションとして幾何的に記述するために、ジャンプバンドル $J^1P$ と商構成 $C = J^1P/G$ を適用する。
• 主バンドル $P$ 上の $G$-不変な垂直ベクトル場を用いて無限小ゲージ変換を導入し、$C^\infty(X)$-加群のリー代数 $\mathfrak{G}$ を形成する。
• 自然バンドル（例：$TX$、$T^*X$、$LX$）の概念を用いて一般共変性をモデル化し、$X$ 上のベクトル場の自然な持ち上げをバンドルの自己同型に拡張する。
• 一般共変変換を支持する自然バンドルである $C_\Gamma = J^1LX/GL(n,\mathbb{R})$ を用いる。
• 超対称重力へと枠組みを拡張する際、$G$-超多様体と階数付き多様体を用い、超関数を滑らかさとグラスマン代数のテンソル積に基づいてモデル化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般相対性理論は、ファイバー束幾何を用いて、どのようにゲージ理論的枠組みに一貫して組み込むことができるか？
• RQ2 ゲージ重力理論に一般共変性を組み込むために必要な幾何的構造は何か？ それらは標準ヤン・ミルズゲージ対称性とはどのように異なるか？
• RQ3 超ゲージ的および非可換的拡張が、幾何的原理からどのように導かれるか？ また、階数付き多様体とスペクトル三重項はその過程で果たす役割は何か？
• RQ4 $G$-超多様体構造は、場の理論における標準的超多様体定式化の不整合をどのように解消するか？
• RQ5 構造群の簡約化とヒッグス機構は、幾何的に一貫した方法で主超バンドルへ一般化可能か？

主な発見

• ゲージ重力理論は、一般共変性を幾何的に組み込むために自然バンドルおよびゲージ自然バンドルを必要とする。一般共変変換は、底多様体上の微分同相写像の持ち上げとして生じる。
• $C_\Gamma = J^1LX/GL(n,\mathbb{R})$ は自然バンドルであり、$LX$ に付随していないにもかかわらず、一貫した一般共変変換を可能にする。
• 無限小ゲージ変換のリー代数 $\mathfrak{G}$ は、構造群 $G$ のリー代数の $C^\infty(X)$-拡張ではあるが、ソボレフ完備化が存在しない限り、リー群のリー代数とはならない。
• 階数付き多様体と $G$-超多様体は、超対称重力のための整合的な幾何的枠組みを提供し、誘導層の非自由性といった標準的超多様体定式化の不整合を解消する。
• セール・スワンの定理は階数付き多様体へと拡張され、体多様体 $X$ 上の階数付き関数のグラスマン代数と、$C^\infty(X)$-上の射影モジュールとの間の同型を確立する。
• 非可換重力はコンヌーのスペクトル三重項を介して扱える。重力作用はディラック作用素の関数のトレースとして表現され、複素化された重力へと導くトゥイスト変形も含まれる。