[論文レビュー] Lectures on the Strominger system

Mario García-Fernández|arXiv (Cornell University)|Sep 8, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 78被引用数 23

ひとこと要約

この論文は、非ケーラー複素幾何とヘテロティック超弦理論に現れる偏微分方程式系であるストロミンジャー系について、包括的な導入を提供する。この系はバランス型計量、ヘルミート・ヤン・ミルズ接続、一般化幾何、超弦構造との関係を確立し、楕円型理論およびストリング類へのフラックス写像を通じた最近のモジュライ問題の進展を提示する。これにより、カルビ・ヤウ多様体を超える鏡像対称性の幾何的枠組みが提供される。

ABSTRACT

These notes give an introduction to the Strominger system of partial differential equations, and are based on lectures given in September 2015 at the GEOQUANT School, held at the Institute of Mathematical Sciences (ICMAT) in Madrid. We describe the links with the theory of balanced metrics in hermitian geometry, the Hermite-Yang-Mills equations, and its origins in physics, that we illustrate with many examples. We also cover some recent developments in the moduli problem and the interrelation of the Strominger system with generalized geometry, via the cohomological notion of string class.

研究の動機と目的

• ストロミンジャー系を、非ケーラー複素多様体へのカルビ問題の自然な一般化として導入すること。
• この系の物理的起源をヘテロティック超弦コンパクト化と関連づけ、コンformal field theory との関係を明確にすること。
• 一般化幾何とストリング類のコhomologicalな概念を用いて、解のモジュライ空間を探索すること。
• モジュライ空間から実ストリングコhomology へのフラックス写像を確立し、モジュライの安定化とレベル集合上のケーラー構造の可能性を可能にすること。
• 整数ストリング類を用いたストロミンジャー＝ヤウ＝ザスローフ型の鏡像対称性を、非ケーラー的カルビ・ヤウ3次元多様体に対して提案すること。

提案手法

• バランス型計量、ヘルミート・ヤン・ミルズ接続、および4形式の異常条件を含む、連立された方程式系としてストロミンジャー系を形式化すること。
• 楕円型作用素理論を用いて、自己同型の作用を除いた無限小変形の有限次元空間を構成すること。
• クルアシの方法を用いて、解の軌道空間への局所スライスを構築し、局所的モジュライ空間構造を得ること。
• 解をストリング類によって分類する写像 $\vartheta: \mathcal{M} \to H^3_{\text{str}}(P,\mathbb{R})$ を導入すること。
• 各フラックス類 $[\hat{H}]$ に対して、補正された構造 $E_{[\hat{H}]}$ を用いてモジュライ空間をトランスティヴなコーアント代数的束と関連付けること。
• レベル集合 $\vartheta^{-1}([\hat{H}])$ の幾何を解析し、特異点を除く領域で自然なケーラー構造を持つ可能性のある、ケーラー・モジュライ空間として解釈すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ストロミンジャー系は、特に複素次元3の場合に、非ケーラー複素多様体へのカルビ問題の一般化としてどのように機能するか？
• RQ2 ストリング類は、モジュライ空間の組織化とフラックス写像によるモジュライの安定化において、果たす役割は何か？
• RQ3 一般化幾何、特にコーアント代数的束を介して、ストロミンジャー系のモジュライ問題の幾何的枠組みをどのように提供するか？
• RQ4 フラックス写像 $\vartheta^{-1}([\hat{H}])$ のレベル集合にケーラー構造を導入できるか？また、これは特別なケーラー幾何とどのように関係するか？
• RQ5 整数ストリング類 $[\hat{H}] \in H^3_{\text{str}}(P,\mathbb{Z})$ は、ストロミンジャー＝ヤウ＝ザスローフ型の鏡像対称性の構成において、どのような意味を持つのか？

主な発見

• ストロミンジャー系は楕円型であるため、自然な微分可能構造を備えた場合、そのモジュライ空間は有限次元であることが保証される。
• 有限次元空間 $H^1(S^*)$ が、$\operatorname{Aut}_0P$ の作用を除いた解の無限小変形をパラメトライズする。これにより局所的モジュライ理論が可能になる。
• フラックス写像 $\vartheta: \mathcal{M} \to H^3_{\text{str}}(P,\mathbb{R})$ は、解のコhomologicalな分類を提供し、各レベル集合は固定されたストリング類に対応する。
• 各レベル集合 $\vartheta^{-1}([\hat{H}])$ は、トランスティヴなコーアント代数的束 $E_{[\hat{H}]}$ 上のキリングスピン角方程式の解のモジュライ空間として解釈され、特別なケーラー幾何の概念を一般化する。
• 特異点を除く領域では、レベル集合に自然なケーラー構造が存在し、変化する複素構造とバランス型クラスを持つ $\tau$-安定な正則ベクトル束の族から生じる。
• 整数条件 $[\hat{H}] \in H^3_{\text{str}}(P,\mathbb{Z})$ は $T$-双対性に不可欠であり、非ケーラー的カルビ・ヤウ3次元多様体に対するストロミンジャー＝ヤウ＝ザスローフ鏡像対称性の基礎をなす可能性がある。