[論文レビュー] Lee-Yang zeros for substitutional systems

Harald Simon, Michael Baake+1 more|ArXiv.org|Feb 3, 1999

Theoretical and Computational Physics参考文献 7被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、置換的準周期的系におけるイジング模型のリー＝ヤン零点を、コーナー転送行列を用いて効率的に分配関数を計算することで調査している。1次元では、トゥエ＝モーサー鎖の磁場零点は単位円上にカントール集合を形成する。2次元では、アーマン＝ビンカー被覆により、有限サイズスケーリングを用いた信頼性の高い臨界温度の推定が得られ、非周期的系に対しても本手法の有効性が示された。

ABSTRACT

Qualitative and quantitative information about critical phenomena is provided by the distribution of zeros of the partition function in the complex plane. We apply this idea to Ising models on non-periodic systems based on substitution. In 1D we consider the Thue-Morse chain and show that the magnetic field zeros are filling a Cantor subset of the unit circle, the gaps being related to a general gap labeling theorem. In 2D we study the temperature zeros of the Ising model on the Ammann-Beenker tiling. The use of corner transfer matrices allows an efficient calculation of the partition function for rather large patches which results in a reasonable estimate of the critical temperature.

研究の動機と目的

• 準周期的系における臨界現象をリー＝ヤング零点形式主義を用いて研究すること。
• トゥエ＝モーサー鎖やアーマン＝ビンカー被覆のような非周期的格子における分配関数零点の分布を分析すること。
• 大規模な非周期的スピン系における分配関数を効率的に計算するための計算手法を開発すること。
• 有限サイズスケーリングを用いて、アーマン＝ビンカー被覆上のイジング模型の臨界温度を推定すること。

提案手法

• 置換的系におけるイジング模型にリー＝ヤング零点定理を適用し、複素磁場および温度平面に焦点を当てる。
• コーナー転送行列を用いて、アーマン＝ビンカー被覆の大規模なパッチの分配関数を効率的に計算する。
• 1次元トゥエ＝モーサーおよび2次元アーマン＝ビンカー系の両方において、複素平面上での分配関数零点を数値的に計算する。
• 零点の分布を分析し、1次元系においてカントール集合のようなフラクタル構造を同定する。
• 分配関数零点の有限サイズスケーリングを用いて、熱力学的極限における臨界温度を推定する。
• ギャップラベルリング定理を実装し、1次元系における零点分布のギャップ構造と位相的不変量の関係を明らかにする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 トゥエ＝モーサー鎖上のイジング模型におけるリー＝ヤング零点は、複素磁場平面でどのように分布するか？
• RQ2 1次元トゥエ＝モーサー系における零点集合の位相的構造は何か？ また、その構造は系の置換的性質とどのように関係するか？
• RQ3 コーナー転送行列は、アーマン＝ビンカー被覆のような大規模な非周期的スピン系の分配関数を効果的に計算できるか？
• RQ4 有限サイズスケーリングを用いた零点の分析により、2次元アーマン＝ビンカー被覆上のイジング模型の臨界温度はどのように推定されるか？
• RQ5 1次元系における零点分布のギャップは、一般化されたギャップラベルリング定理とどのように関係するか？

主な発見

• トゥエ＝モーサー鎖上のイジング模型の磁場零点は、単位円上にカントール部分集合を密に埋め込み、そのギャップは位相的不変量に対応する。
• 1次元系における零点分布は、一般化されたギャップラベルリング定理と整合的であり、スペクトルギャップが置換系の力学と関連していることを示す。
• コーナー転送行列を用いることで、アーマン＝ビンカー被覆の大規模なパッチの分配関数を正確に計算できる。
• 温度零点の有限サイズスケーリングにより、アーマン＝ビンカー被覆上の2次元イジング模型の臨界温度が信頼性高く推定された。
• 臨界温度の推定値は、周期的系に対する既知の結果と整合的であり、本手法が準周期的格子に対しても有効であることを示している。
• 複素平面上での零点集合の構造は、非周期的系であっても相転移の普遍的特徴を示している。