[論文レビュー] Lefschetz Hyperplane Theorem for Stacks

Daniel Halpern-Leistner|arXiv (Cornell University)|Aug 4, 2010

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 2被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、モース理論とŁojasiewiczの不等式を用いて、複素多様体上のコンパクトで滑らかなデリーニ＝ムーディー・スタックに対して、レフシェッツ超平面定理を確立する。スタックは、高次元の有限ドメイン商の付加を介して、その超平面切断へ変形再びできることが示される。主な貢献は、超平面切断に非退化性や一般性の仮定を課さずに定理を証明したことであり、古典的結果を整数係数およびホモトピー群の観点からスタックへと拡張している。

ABSTRACT

We use Morse theory to prove that the Lefschetz Hyperplane Theorem holds for compact smooth Deligne-Mumford stacks over the site of complex manifolds. For $Z \subset X$ a hyperplane section, $X$ can be obtained from $Z$ by a sequence of deformation retracts and attachments of high-dimensional finite disc quotients. We use this to derive more familiar statements about the relative homotopy, homology, and cohomology groups of the pair $(X,Z)$. We also prove some preliminary results suggesting that the Lefschetz Hyperplane Theorem holds for Artin stacks as well. One technical innovation is to reintroduce an inequality of Łojasiewicz which allows us to prove the theorem without any genericity or nondegeneracy hypotheses on $Z$.

研究の動機と目的

• コンパクトで滑らかなデリーニ＝ムーディー・スタックを複素多様体上に拡張して、古典的レフシェッツ超平面定理を成立させる。
• 有理ホモロジーだけでなく、整数係数およびホモトピー群の観点から定理を確立する。
• Łojasiewiczの不等式を用いて、超平面切断に非退化性や一般性の条件を不要にする。
• 2-圏的枠組みにおいてスタックのためのモース理論を構築し、2-コリミットによる細胞分解を証明する。
• 結果を滑らかなアーティン・スタックへ拡張する可能性を検討する。

提案手法

• ボットのモース理論的証明をデリーニ＝ムーディー・スタックの文脈に適応する。
• 非退化性がなくても安定した勾配フローを保証するために、Łojasiewiczの不等式を適用する。
• Łojasiewiczの不等式 (L) を用いて、実解析的関数の負勾配フローがゼロ集合へ連続的な変形再びに拡張されることを証明する。
• 埋め込まれた部分スタックに沿った2圏的コリミットとして細胞付加を構成し、分解がスタックレベルで有効であることを保証する。
• スタック X が高次元のドメイン商を付加した Z とホモトピー同値であることを示すために理論を適用する。
• ヘプワースの基礎的研究（DMスタックの底面空間のためのモース理論）をスタックレベルへ拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 整数係数およびホモトピー群の観点から、有理コhomologyに限らず、滑らかなデリーニ＝ムーディー・スタックに対し、レフシェッツ超平面定理を拡張できるか？
• RQ2 超平面切断に非退化性や一般性の条件を課さずに、レフシェッツ超平面定理は成り立つか？
• RQ3 2-圏的観点からスタックのためのモース理論を定式化でき、細胞付加を2-コリミットとして扱えるか？
• RQ4 結果は滑らかなアーティン・スタックへ拡張可能か、特にコンパクト表現を持つものについてか？
• RQ5 Łojasiewiczの不等式は、この文脈において特異的または退化した関数の勾配フローを安定化するために果たす役割は何か？

主な発見

• 整数係数で、有理係数に限らず、コンパクトで滑らかなデリーニ＝ムーディー・スタックに対し、レフシェッツ超平面定理が成立する。
• スタック X は、高次元の有限ドメイン商の付加を伴う変形再びの系列を通じて、その超平面切断 Z へ変形再び可能である。
• Łojasiewiczの不等式のおかげで、超平面切断 s に非退化性や一般性の仮定を課さずに定理が成立する。
• 実解析的関数 f が X 上にあり、Łojasiewiczの不等式 (L) が成り立つ限り、f の負勾配フローはゼロ集合 Z へ連続的な変形再びに拡張できる。
• Łojasiewiczの不等式は、非ゼロの滑らかな因子を除いて実解析的関数である関数に対しても満たされ、多くの自然な幾何的関数がこれに含まれる。
• 初期的な証拠から、ホモロジー的レフシェッツ定理が、特にコンパクト表現を持つクラスの広範な滑らかなアーティン・スタックへ拡張可能である可能性がある。