[論文レビュー] Lefschetz trace formula and l-adic cohomology of Rapoport-Zink tower for GSp(4)

Yoichi Mieda|arXiv (Cornell University)|Dec 20, 2012

Advanced Algebra and Geometry参考文献 28被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、GSp(4)のRapoport-Zink塔にLefschetzのトレース公式を適用し、GSp(4)とその内部形のLパケット間の局所Jacquet-Langlands対応がℓ-adicコホモロジーに現れることを示している。Lパケットと安定性に関する仮定の下で、コホモロジーの交代和は、対応を要因-4で実現し、塔のコホモロジーにおける局所Langlands対応を確認する。

ABSTRACT

We investigate the alternating sum of the l-adic cohomology of the Rapoport-Zink tower for GSp(4) by the Lefschetz trace formula. Under some assumptions on L-packets of GSp(4) and its inner form, we observe that the local Jacquet-Langlands correspondence appears in the cohomology.

研究の動機と目的

• Rapoport-Zink塔のℓ-adicコホモロジーをLefschetzのトレース公式を用いて調査すること。
• GSp(4)とその内部形の局所Langlands対応が塔のコホモロジーに現れることを検証すること。
• 局所Jacquet-Langlands対応がコホモロジー群の交代和に現れることを確立すること。
• G(Qp) × J(Qp)のコホモロジーへの作用を分析し、トレース公式を介してLパケットと関連付けること。

提案手法

• アディック空間に対するLefschetzのトレース公式を適用し、Rapoport-Zink塔のコホモロジー上のトレースを計算する。
• 周期写像とp進ホッジ理論を用いて、G(Qp) × J(Qp)の元(g,h)がRapoport-Zink空間上で固定する点を数える。
• 安定Weyl統合積分公式を用いて、GとJにおける安定オルビタル積分を関連付ける。
• Lパケットの文字関係を用い、Lパケットの安定性を仮定してトレースを比較する。
• 滑らかな表現の圏におけるExt群を用いて、仮想表現H_RZ[ρ]を定義する。
• コンパクト開部分群の特性関数が正則的楕円的要素の上にのみ台を持つことを利用して、トレース計算を簡略化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 GSp(4)とその内部形の局所Jacquet-Langlands対応は、Rapoport-Zink塔のℓ-adicコホモロジーに現れるか？
• RQ2 GSp(4)の非準密なRapoport-Zink空間に対して、Lefschetzのトレース公式を適用し、コホモロジー的トレースを計算できるか？
• RQ3 G(Qp) × J(Qp)の作用の下で、GSp(4)とその内部形のLパケットは塔のコホモロジーとどのように関係するか？
• RQ4 コホモロジー表現のトレースとLパケット表現のトレースを結ぶ正確な乗法的係数は何か？
• RQ5 コホモロジー表現が有限長を持つのはどのような条件下か？これにより、文字論的解析が可能になる。

主な発見

• コホモロジーの交代和H_RZ[ρ]は、要因-4を伴い、局所Jacquet-Langlands対応を実現する：正則的楕円的fに対して∑ρ∈ΠϕJ Tr(f; H_RZ[ρ]) = -4∑π∈ΠϕG Tr(f; π)。
• 正則的楕円的g ∈ G(Qp)に対して、分布文字関数は∑ρ∈ΠϕJ θH_RZ[ρ](g) = -4∑π∈ΠϕG θπ(g)を満たし、文字の形で対応を確認する。
• Ext群が有限長である限り、仮想表現H_RZ[ρ]は明確に定義された文字関数を持ち、すべての正則的楕円的要素で文字関係が成り立つ。
• 3次コホモロジーにおける超臨界部は、φが離散的かつSL2(C)上で自明であるとき、各π ∈ ΠϕGの双対を含む。
• この結果は、GSp(4)とその内部形の局所Langlands対応がRapoport-Zink塔のコホモロジーに実現されるという期待と整合的である。
• この手法は、FaltingsおよびStrauchのアプローチを非コンパクトかつEL型でないRapoport-Zink空間へと拡張し、非コンパクト性と非双対的Langlands対応の困難を克服した。