[論文レビュー] Left counital Hopf algebra structures on free commutative Nijenhuis algebras

Shanghua Zheng, Li Guo|arXiv (Cornell University)|Nov 13, 2017

Advanced Topics in Algebra参考文献 32被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、コサイクル条件を用いて左余単位的双代数を構成し、その後、連結な次数付き左余単位的双代数が右側の反対元を備えることを証明することにより、自由可換 Nijenhuis 代数に左余単位的右反対元 Hopf 代数構造を確立する。主な貢献は、対称性の条件を緩めた新しい種類の Hopf 代数的構造の同定である。

ABSTRACT

Motivated by the Hopf algebra structures established on free commutative Rota-Baxter algebras, we explore Hopf algebra related structures on free commutative Nijenhuis algebras. Applying a cocycle condition, we first prove that a free commutative Nijenhuis algebra on a left counital bialgebra (in the sense that the right-sided counicity needs not hold) can be enriched to a left counital bialgebra. We then establish a general result that a connected graded left counital bialgebra is a left counital right antipode Hopf algebra in the sense that the antipode is also only right-sided. We finally apply this result to show that the left counital bialgebra on a free commutative Nijenhuis algebra on a connected left counital bialgebra is connected and graded, hence is a left counital right antipode Hopf algebra.

研究の動機と目的

• 自由可換 Rota-Baxter 代数から自由可換 Nijenhuis 代数への Hopf 代数的構造の拡張を図ること。
• Nijenhuis 代数構造に完全な対称性が欠ける問題に対処するため、左余単位的および右反対元条件を導入すること。
• 連結な次数付き双代数が Hopf 代数であるという古典的結果を、左余単位的文脈へ一般化すること。
• 連結な左余単位的双代数上に自由可換 Nijenhuis 代数が自然に連結で次数付き構造を備え、左余単位的右反対元 Hopf 代数をなすことの証明。
• 片側単位元および片側反対元を備えた、従来の片側 Hopf 代数の概念とは異なる非標準的 Hopf 代数の新クラスを提供すること。

提案手法

• 右シフトシャッフル積の一般化を用いて自由可換 Nijenhuis 代数を構成する。
• 基礎となる左余単位的双代数上でコサイクル条件を用いて、写像 Δ_T を定義する。
• Δ_T と単位元 ε_T が Nijenhuis 代数の積と整合することを検証する。
• 要素の次数に関する帰納法を用いて、Δ_T のコアソシエイティビティと ε_T の左余単位的性質を証明する。
• テンソル積による自然なフィルトレーションを定義することで、得られた双代数が連結で次数付きであることを確立する。
• 古典的な連結な次数付き双代数 ⇒ Hopf 代数定理の一般化を適用し、右側反対元の存在を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 完全な対称性が欠如するにもかかわらず、自由可換 Nijenhuis 代数に Hopf 代数的構造を付与できるか？
• RQ2 基礎となる双代数構造にコサイクル条件が成立するならば、左余単位的双代数を左余単位的右反対元 Hopf 代数へと上昇させることができるか？
• RQ3 連結な左余単位的双代数上に自由可換 Nijenhuis 代数は自然に次数付きかつ連結構造を備えているか？
• RQ4 連結な次数付き双代数が Hopf 代数であるという古典的結果を、左余単位的文脈へ拡張できるか？
• RQ5 このような代数における反対元の正確な性質は何か？ なぜそれが片側的（右側）に限られるのか？

主な発見

• 左余単位的双代数上に自由可換 Nijenhuis 代数を、コサイクル条件を用いた写像 Δ_T により余代数構造を備えることで、左余単位的双代数にできる。
• 写像 Δ_T はコアソシエイティブであり、単位元 ε_T は左側に位置し、左余単位的条件を満たす。
• 連結な左余単位的双代数上に自由可換 Nijenhuis 代数は、テンソル次数による自然な連結で次数付き構造を備える。
• 一般化された結果を証明した：任意の連結な次数付き左余単位的双代数は右側反対元を備え、左余単位的右反対元 Hopf 代数である。
• その結果、連結な左余単位的双代数上に自由可換 Nijenhuis 代数は左余単位的右反対元 Hopf 代数として実現される。
• 本構成により、非対称な双対性を有する新しい種類の Hopf 代数的構造が得られ、標準的 Hopf 代数や既存の片側 Hopf 代数の概念とは明確に異なる。