[論文レビュー] Left Demazure-Lusztig operators on equivariant (quantum) cohomology and K theory

Leonardo C. Mihalcea, Hiroshi Naruse+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 28, 2020

Advanced Algebra and Geometry参考文献 22被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、部分旗多様体 $G/P$ の等化 (量子) コホロジーおよび K理論に作用する左デマズール＝ルシュティグ作用素を導入し、ワイル群の元による左乗法によって誘導される作用を通じて、シューベルト類が再帰的に生成されることを証明する。主な貢献は、これらの作用素が等化コホロジーおよび K理論においてそれぞれチェーン＝シュワーツ＝マクファーソン類およびモチーフ的コホロジー類を生成することを確立し、量子コホロジーおよび K理論へ自然に拡張可能であり、量子積と整合するライブニッツ則を満たすことである。

ABSTRACT

We study the Demazure-Lusztig operators induced by the left multiplication on partial flag manifolds $G/P$. We prove that they generate the Chern-Schwartz-MacPherson classes of Schubert cells (in equivariant cohomology), respectively their motivic Chern classes (in equivariant K theory), in any partial flag manifold. Along the way we advertise many properties of the left and right divided difference operators in cohomology and K theory, and their actions on Schubert classes. We apply this to construct left divided difference operators in equivariant quantum cohomology, and equivariant quantum K theory, generating Schubert classes, and satisfying a Leibniz rule compatible with the quantum product.

研究の動機と目的

• 部分旗多様体 $G/P$ の等化コホロジーおよび K理論における左デマズール＝ルシュティグ作用素を定義し、それらを研究すること。
• これらの作用素が、等化コホロジーにおけるチェーン＝シュワーツ＝マクファーソン類および等化 K理論におけるモチーフ的コホロジー類を生成することを示すこと。
• 左作用素の枠組みを等化量子コホロジーおよび K理論へ拡張し、量子積と整合性を保つこと。
• シューベルト類の再帰的生成およびヘッケ代数構造と整合する幾何学的・代数的枠組みを確立すること。

提案手法

• 本稿では、ワイル群の元による左乗法によって $G/P$ 上に作用する左除法差分作用素を定義し、等化コホロジーおよび K理論の環に自己同型を誘導する。
• 左除法差分作用素の変形として左デマズール＝ルシュティグ作用素を構成し、等化量子コホロジーおよび K理論における量子積と整合する。
• 同著者らは、$\overline{\Psi}_P: K_T(G/P) \xrightarrow{\sim} R(T) \otimes_{R(G)} R(T)^{W_P}$ という局所化同型を用いて K理論的類を表現論と関連づけ、特性式の公式を用いて作用を計算する。
• 左/右作用、局所化、プッシュプル操作を結ぶ可換図式を証明し、K理論および等化コホロジーにおける既知の構成と整合することを示す。
• 左乗法が等化量子コホロジーおよび K理論の環に自己同型を誘導することに依拠し、シューベルト類の再帰的生成を可能にする。
• 畳み込み作用素およびハラダ＝ランドヴェーバー＝スジャマーのモデルと接続し、左ヘッケ代数作用の幾何的実現を提供する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 左デマズール＝ルシュティグ作用素は、部分旗多様体 $G/P$ の等化コホロジーおよび K理論にどのように作用するか？
• RQ2 これらの作用素は、$G/P$ のシューベルト胞体のチェーン＝シュワーツ＝マクファーソン類およびモチーフ的コホロジー類を生成できるか？
• RQ3 左作用素は、等化量子コホロジーおよび K理論へ拡張可能であり、量子積と整合するライブニッツ則を満たすか？
• RQ4 等化コホロジーおよび K理論の文脈において、ワイル群の左作用と右作用は幾何学的・代数的にどのように関係するか？
• RQ5 左作用の明確な代数的構造は、縮退的および完全なヘッケ代数の観点からどのように記述できるか？

主な発見

• 左デマズール＝ルシュティグ作用素は、$G/P$ の等化コホロジーにおけるシューベルト胞体のチェーン＝シュワーツ＝マクファーソン類を生成する。
• 同じ作用素は、$G/P$ の等化 K理論におけるシューベルト胞体のモチーフ的コホロジー類を生成する。
• 左作用素は、等化量子コホロジーおよび K理論へ拡張可能であり、量子積と整合するライブニッツ則を満たす。
• 左作用 $K_T(G/P)$ は、局所化同型 $\overline{\Psi}_P$ に関して $1 \otimes \partial'_i$ の作用と同型であり、表現論と結びつく。
• 左および右作用は、それぞれの局所化およびプッシュプル写像と可換であり、$\pi_*$ および $\pi^*$ を含む可換図式によって示される。
• 左デマズール作用素は畳み込み作用素と一致し、ハラダ＝ランドヴェーバー＝スジャマーのモデルとも一致し、幾何的および代数的枠組みの整合性を確立する。