[論文レビュー] Left invariant semi Riemannian metrics on quadratic Lie groups

Shirley Bromberg, Alberto Abad Medina|arXiv (Cornell University)|Mar 7, 2011

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 16被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、二次的リーリー群上の左不変半リーマン計量の平坦性に関する必要十分条件を確立し、このような計量が常に完全であることを証明する。非アーベルな二次的リーマン群は平坦なリーマン計量やローレンツ計量を有し得ないが、任意の3段階可解な二次的リーマン群は平坦な左不変半リーマン計量を有し、次元が8より大きい場合には、同相でない計量が無限に存在する。

ABSTRACT

To determine the Lie groups that admit a flat (eventually complete) left invariant semi-Riemannian metric is an open and difficult problem. The main aim of this paper is the study of the flatness of left invariant semi Riemannian metrics on quadratic Lie groups i.e. Lie groups endowed with a bi-invariant semi Riemannian metric. We give a useful necessary and sufficient condition that guaranties the flatness of a left invariant semi Riemannian metric defined on a quadratic Lie group. All these semi Riemannian metrics are complete. We show that there are no Riemannian or Lorentzian flat left invariant metrics on non Abelian quadratic Lie groups, and that every quadratic 3 step nilpotent Lie group admits a flat left invariant semi Riemannian metric. The case of quadratic 2 step nilpotent Lie groups is also addressed.

研究の動機と目的

• 二次的リーマン群上の左不変半リーマン計量が平坦であるための条件を特定すること。
• 左不変半リーマン計量が平坦（かつ完全）であるようなリーマン群の分類という未解決問題を解決すること。
• 特に2段階および3段階可解な場合を含め、可解な二次的リーマン群上の平坦な左不変半リーマン計量の存在と分類を分析すること。
• 古典的ヤン・バクスター方程式の解と双対リーマン群上の平坦な左不変半リーマン計量との間の関係を確立すること。

提案手法

• リーマン接続積と曲率テンソルの解析を用いて、単模リーマン群上の左不変半リーマン計量の平坦性の条件を導出する。
• 計量が左右両方の平行移動で不変であるという性質を持つ、二次的（直交的）リーマン群上の双不変半リーマン計量の理論を適用する。
• リーマン代数上の計量の反射性を用いて、二次的リーマン群上のジャコビ場および共役点を分析する。
• 降下中心列を保存するリーマン代数上の対称線形同型写像 $ u $ を用いて、平坦な左不変半リーマン計量を構成する。
• ビンバーグ＝エラシュヴィリによる3形式の分類を用いて、$ \dim V \geq 9 $ のとき、無限に多くの同相でない平坦計量が存在することを示す。
• 古典的ヤン・バクスター方程式の解と双対リーマン群上の平坦計量との間の双対性を用いて、新しい例を生成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 二次的リーマン群上の左不変半リーマン計量が平坦であるための必要十分条件は何か？
• RQ2 非アーベルな二次的リーマン群は、平坦なリーマン計量やローレンツ計量を有し得るか？
• RQ3 どの可解な二次的リーマン群が平坦な左不変半リーマン計量を有し、同相でない計量はいくつ存在するか？
• RQ4 古典的ヤン・バクスター方程式の解と、双対リーマン群上の平坦な左不変半リーマン計量の存在との間にはどのような関係があるか？

主な発見

• 二次的リーマン群上の左不変半リーマン計量が平坦であるための必要十分条件は、関連するリーマン代数上の対称線形同型写像 $ u $ がリーマン接続積を含む特定の代数的条件を満たすことである。
• 二次的リーマン群上のすべての平坦な左不変半リーマン計量は、測地的に完全である。
• 非アーベルな二次的リーマン群は、平坦な左不変リーマン計量やローレンツ計量を有し得ない。
• 任意の3段階可解な二次的リーマン群は、少なくとも1つの平坦な左不変半リーマン計量を有する。
• 0コアランクを持つ2段階可解な二次的リーマン群で、$ \dim G > 8 $ のとき、同相でない平坦な左不変半リーマン計量が無限に存在する。
• $ \dim V \geq 9 $ のとき、ビンバーグ＝エラシュヴィリの分類により、無限に多くの非共役な3形式が存在し、それらにより関連するリーマン群上に無限に多くの同相でない平坦計量が存在する。