[論文レビュー] Solutions of the Yang-Baxter equations on orthogonal groups : the case of oscillator groups

Mohamed Boucetta-Alberto Medina|arXiv (Cornell University)|Aug 14, 2010

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 9被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、一般のオシレーター・リー代数に対して、リー双代数構造および古典的ヤン・バクスター方程式の解を分類し、各解が双対リー群上に平坦で左不変なローレンツ計量を誘導することを示している。主な貢献は、直交リー群上の解を用いて、完全で平坦なローレンツ計量を持つ多くの可解リー群を構成することにある。

ABSTRACT

A Lie group is called orthogonal if it carries a bi-invariant pseudo Riemannian metric. Oscillator Lie groups constitutes a subclass of the class of orthogonal Lie groups. In this paper, we determine the Lie bialgebra structures and the solutions of the classical Yang-Baxter equation on a generic class of oscillator Lie groups. On the other hand, we show that any solution of the classical Yang-Baxter equation on an orthogonal Lie group induces a metric in the dual Lie groups associated to this solution. This metric is geodesically complete if and only if the dual are unimodular. More generally, we show that any solution of the generalized Yang-Baxter equation on an orthogonal Lie group determines a left invariant locally symmetric pseudo-Riemannian metric on the corresponding dual Lie groups. Applying this result to oscillator Lie groups we get a large class of solvable Lie groups with flat left invariant Lorentzian metric.

研究の動機と目的

• 一般のクラスのオシレーター・リー代数上で、リー双代数構造および古典的ヤン・バクスター方程式の解を分類すること。
• 直交リー群上で古典的ヤン・バクスター方程式の解と、その双対群上での平坦で左不変な擬リーマン計量との間の幾何的対応を確立すること。
• このような解が、双対リー群が非単調である場合に限り、測地的に完全な計量を与えることを示すこと。
• 結果を一般化ヤン・バクスター方程式に拡張し、解が双対群上に局所的に対称な擬リーマン計量を誘導することを示すこと。
• これらの結果をオシレーター群に適用し、平坦で左不変なローレンツ計量を持つ多くの可解リー群のクラスを構成すること。

提案手法

• 基底 $\{e_{-1}, e_0, e_i, \check{e}_i\}$ と括弧積 $[e_{-1}, e_j] = \lambda_j \check{e}_j$, $[e_{-1}, \check{e}_j] = -\lambda_j e_j$, $[e_j, \check{e}_j] = e_0$ を持つオシレーター・リー代数 $\mathfrak{g}_\lambda$ の構造を用い、$\lambda_i$ が厳密に増加し、$i<j<k$ に対して $\lambda_k \neq \lambda_i + \lambda_j$ となるようにする。
• 部分空間 $S = \text{span}\{e_i, \check{e}_i\}$ 上に、$\omega(e_i, \check{e}_j) = \delta_{ij}$ を満たすシンプレクティック形式 $\omega$ を定義し、$u,v \in S$ に対して $[u,v] = \omega(u,v)e_0$ とする。
• シンプレクティック形式 $\omega$ の双対写像 $r\#$ と対称双線形形式 $\omega_{r_1,r_2}$ を用いて、古典的ヤン・バクスター方程式 $[r,r] = 0$ の解 $r \in \wedge^2 \mathfrak{g}_\lambda$ を構成する。
• コブダリー・リー双代数構成を用いる：$r$ を与えると、$\xi_r(u) = \text{ad}_u r$ を通じて双対括弧 $[\alpha, \beta]_r^* = \xi_r(u)$ を定義し、ヤコビ恒等式が成り立つのは $r$ が一般化ヤン・バクスター方程式を満たすときである。
• 定理1.3を適用する：直交リー群上で古典的ヤン・バクスター方程式の解 $r$ が存在するとき、双対群 $G^*$ 上に平坦で左不変な擬リーマン計量が誘導され、その計量は $G^*$ が非単調である場合に限り測地的に完全である。
• 双対リー代数 $\mathfrak{g}_\lambda^*$ が $\mathbb{R}e_0^*$ と5次元ヒルベルト理想 $\mathcal{I} = \text{span}\{e_0^*, e_1^*, \check{e}_1^*, e_2^*, \check{e}_2^*\}$ の半直積に同型であり、作用が $\text{ad}_{e_0^*}$ の $\mathcal{I}$ 上への制限によって与えられることを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般のオシレーター・リー代数 $\mathfrak{g}_\lambda$ 上でのリー双代数構造および古典的ヤン・バクスター方程式の解は何か？
• RQ2 直交リー群上で古典的ヤン・バクスター方程式の解 $r$ が、その双対群上に擬リーマン計量をどのように誘導するか？
• RQ3 双対群上の誘導計量が測地的に完全であるための条件は何か？
• RQ4 直交リー群上で一般化ヤン・バクスター方程式が、双対群上に局所的に対称な擬リーマン計量を生成できるか？
• RQ5 オシレーター群上の解から、平坦で左不変なローレンツ計量を持つどのクラスの可解リー群を構成できるか？

主な発見

• 任意の一般のオシレーター・リー群 $G_\lambda$ 上の古典的ヤン・バクスター方程式の解 $r$ に対して、双対リー群 $G_\lambda^*$ は、解によって誘導された平坦で左不変な擬リーマン計量を持つ。
• この $G_\lambda^*$ 上の誘導計量は、$G_\lambda^*$ が非単調である場合に限り測地的に完全である。
• 双対リー代数 $\mathfrak{g}_\lambda^*$ は、$\mathbb{R}e_0^*$ と5次元ヒルベルト代数 $\mathcal{I}$ の半直積に同型であり、作用は $\text{ad}_{e_0^*}$ を $\mathcal{I}$ に制限することで与えられる。
• $\mathfrak{g}_\lambda$ 上の自己準同型不変なローレンツ計量 $\mathbf{k}_\lambda$ は、定理1.3を用いて $G_\lambda^*$ 上に完全で平坦な左不変なローレンツ計量を誘導する。
• 直交リー群上で一般化ヤン・バクスター方程式の解は、対応する双対リー群上に左不変な局所的に対称な擬リーマン計量をもたらす。
• オシレーター群上の解から、平坦で左不変なローレンツ計量を持つ多くの可解リー群のクラスが構成可能であり、$\text{Im}(r)$ が退化であっても $\mathfrak{g}_r^*$ は可解のままである例が含まれる。