[論文レビュー] Lens rigidity with partial data in the presence of a magnetic field

Hanming Zhou|arXiv (Cornell University)|May 20, 2016

Numerical methods in inverse problems参考文献 27被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、次元が3以上の多様体上における磁場を伴う共形リーマン計量について、局所的レンズ剛性を確立する。境界が強く凸な点の近傍で、部分的レンズデータ（散乱関係および単位速度磁気測地線の到達時間）から、共形因子と磁場が一意に特定可能であることを示す。主な結果は、境界剛性とレンズ剛性を部分的データおよび共形不変性の下で磁気系へ拡張する。

ABSTRACT

In this paper we consider the lens rigidity problem with partial data for conformal metrics in the presence of a magnetic field on a compact manifold of dimension $\geq 3$ with boundary. We show that one can uniquely determine the conformal factor and the magnetic field near a strictly convex (with respect to the magnetic geodesics) boundary point where the lens data is accessible. We also prove a boundary rigidity result with partial data assuming the lengths of magnetic geodesics joining boundary points near a strictly convex boundary point are known. The local lens rigidity result also leads to a global rigidity result under some strictly convex foliation condition. A discussion of a weaker version of the lens rigidity problem with partial data for general smooth curves is given at the end of the paper.

研究の動機と目的

• 磁気系における部分的データを伴うレンズ剛性問題を扱う。特に磁場が存在する場合を想定する。
• 厳密に凸な境界点の近傍における不完全な境界測定値から、共形因子と磁場が一意に回復可能かどうかを特定する。
• 境界点近傍での磁気測地線の長さに関する知識を仮定した下で、部分的データのもとでの境界剛性結果を確立する。
• 厳密に凸なフォリエーション条件の下で、グローバル剛性結果を導出する。
• 一般の滑らかな曲線に対する弱い形のレンズ剛性問題を、重み付きX線変換を用いて探求する。

提案手法

• 境界上の単位球束上での単位速度磁気測地線の散乱関係 $L$ および到達時間 $ au$ を、レンズデータとして定式化する。
• 磁場を表す閉2形式 $ \Omega$ を用いたシンプレクティック形式 $\beta = \beta_0 + \pi^*\Omega$ を持つハミルトニアン系から生成される磁気フローを用いる。
• レンズデータの等価性から導かれる、磁気測地線上での共形因子の対数比を含む積分恒等式（式19）を適用する。
• 問題を、球束上に定義された可逆な行列場 $\mathcal{W}$ を用いた行列重み付きX線変換 $I_{\mathcal{W}}\varphi = 0$ に還元する。
• 測地線フローの剛性における議論に類似した手法を用いて、重み付きX線変換 $I_{\mathcal{W}}$ の局所的可逆性を証明し、共形因子の一意性を保証する。
• 局所的結果を特徴線の伝播および微局所解析的手法を用いて拡張し、厳密に凸なフォリエーション条件の下でグローバル剛性結果を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 磁場が存在する状況下で、部分的レンズデータからリーマン計量の共形因子が一意に回復可能か。
• RQ2 散乱関係および到達時間データが境界点近傍で磁場と共形因子を一意に特定するための幾何的条件は何か。
• RQ3 部分的データが得られる状況下で、磁気系のレンズ剛性問題と境界剛性問題の関係は何か。
• RQ4 共形因子のレンズデータからの回復において、重み付きX線変換が果たす役割は何か。
• RQ5 剛性結果における境界ジェット仮定を、境界上での等価性のみに弱めることが可能か。

主な発見

• レンズデータ（散乱関係および到達時間）が一致し、かつ境界ジェット $c$ と $\tilde{c}$ が等しい場合、共形因子 $c$ は厳密に凸な境界点の近傍で一意に特定可能である。
• 主結果では磁場 $G$ を固定したまま扱い、部分観測下で共形因子 $c$ がレンズデータから回復可能であることを示している。
• 行列重み付きX線変換 $I_{\mathcal{W}}$ を用いた局所的レンズ剛性結果が確立され、この変換が局所的に可逆であることが示され、共形因子の一意性が保証される。
• 厳密に凸なフォリエーション条件の下ではグローバル剛性結果が成り立ち、局所的結果が多様体全体に拡張される。
• 一般の滑らかな曲線に対する弱い剛性結果が、問題を重み付きX線変換に還元することで得られるが、追加の仮定がなければ全可逆性は保証されない。
• 結果は共形不変性に対して安定であり、滑らかな境界を有する次元 $n \geq 3$ の多様体に適用可能である。