[論文レビュー] Les Houches Lectures on Fields, Strings and Duality

Robbert Dijkgraaf|arXiv (Cornell University)|Mar 19, 1997

Black Holes and Theoretical Physics被引用数 6

ひとこと要約

1995年のレ・フーチューズ・レクチャーシリーズは、トポロジカルな場理論、コンフォーマル場理論、超対称性、ゲージ理論、そしてストリング理論について、数学的に厳密な導入を提供する。現代的な概念、たとえばモジュライ空間、双対性、および量子場理論とストリング理論の間の関連性に重点を置いている。主な貢献は、双対性とBPS状態の統一的で幾何的な視点であり、Dブレーンの役割を含む、非摂動的物理学におけるアポクリファルなレクチャーレクチャーが含まれる。

ABSTRACT

Notes of my 14 `lectures on everything' given at the 1995 Les Houches school. An introductory course in topological and conformal field theory, strings, gauge fields, supersymmetry and more. The presentation is more mathematical then usual and takes a modern point of view stressing moduli spaces, duality and the interconnectedness of the subject. An apocryphal lecture on BPS states and D-branes is added.

研究の動機と目的

• 大学院生および研究者を対象に、量子場理論およびストリング理論の高度なトピックについて、包括的かつ数学的に構造化された導入を提供すること。
• 従来の計算的手法よりも、特にモジュライ空間や双対性といった現代的な幾何的・構造的概念を強調すること。
• 共通の数学的言語を通じて、コンフォーマル場理論、ゲージ理論、ストリング理論といった多様な分野を統一すること。
• BPS状態およびDブレーンが非摂動的ストリングダイナミクスにおいて果たす役割を調査し、それらの分類と物理的意義を明らかにすること。
• 双対性を中心的な組織的原理として強調し、量子場理論とストリング理論の現代的で相互に接続された視点を提示すること。

提案手法

• 数学的枠組みを採用し、微分幾何学および代数的トポロジーを用いて、トポロジカルおよびコンフォーマル場理論の概念を形式化する。
• 真空および場の配置のモジュライ空間を、量子場理論およびストリングのコンactificationを分類・分析する中心的ツールとして用いる。
• 双対性は対称性としてではなく、同じ基礎的な幾何構造を持つ異なる物理理論間の構造的関係として扱う。
• BRSTコホモロジーおよびトポロジカル・ツイストの形式的展開を用いて、超対称量子場理論からトポロジカル場理論を構成する。
• Dブレーンはストリング理論における境界条件として導入され、ディリクレ境界条件およびラムド＝ネヴェウ＝シュワーツ（RNS）形式を用いてその力学を分析する。
• BPS状態に関するアポクリファルなレクチャーでは、表現論および中心的荷重（central charge）を用いて、超対称理論における安定なソリトン状態を分類する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 真空のモジュライ空間は、どのようにして異なる量子場理論およびストリングコンパクト化を分類・統一するか？
• RQ2 場理論とストリング理論の間の双対性は、どのようにして摂動的対称性ではなく、幾何的・位相的構造から生じるのか？
• RQ3 DブレーンはBPS状態を実現するために果たす役割は何か？ また、非摂動的双対性関係にどのように寄与するか？
• RQ4 超対称ゲージ理論のトポロジカル・ツイストは、どのようにして物理的不変量が計算可能なコホモロジカル場理論を生じさせるか？
• RQ5 中心的荷重は、超対称理論におけるBPS状態の分類において、数学的・物理的意義をどのように持つか？

主な発見

• レクチャーは、真空のモジュライ空間が、量子場理論およびストリングコンパクト化を分類する統一的幾何的言語として機能することを確立している。
• 双対性は、異なる理論のモジュライ空間同士の同型写像から自然に生じることを示しており、摂動的等価性を越えたより深い幾何的起源を示唆している。
• BPS状態は、超対称代数における中心的荷重によって分類され、BPS境界における中心的荷重の正値性がその安定性を決定づける。
• Dブレーンは超対称性を保存する境界条件として実現され、そのスケーリングがストリング理論の完全な双対性構造に不可欠であることが示された。
• N=2超対称ヤン・ミルズ理論のトポロジカル・ツイストにより、トポロジカル場理論が生じ、局在化を用いて計算可能なコホモロジカル場理論およびトポロジカル不変量が得られる。
• アポクリファルなレクチャーは、Dブレーンが単なる動的対象ではなく、ストリング理論の非摂動的定式化における基本的構成要素であることを強調しており、双対性の網を完成させている。