[論文レビュー] String Theory on Calabi-Yau Manifolds

Brian Greene|ArXiv.org|Feb 23, 1997

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 17被引用数 213

ひとこと要約

この論文は、Calabi-Yau多様体への弦理論の compactification における量子幾何学について包括的な紹介を提供しており、双対性と非摂動的効果が、古典的には異なると見なされていた Calabi-Yau 多様体が鏡映性を通じて物理的に同等であることを明らかにする。主な貢献は、かつて古典幾何学では不可能とされていたトポロジーの変化が、conifold および flop 遷移を通じて弦理論において滑らかに起こり得ることの示唆であり、弦理論の全モジュライ空間が異なる幾何的位相にわたって統一されることを示している。

ABSTRACT

These lectures are devoted to introducing some of the basic features of quantum geometry that have been emerging from compactified string theory over the last couple of years. The developments discussed include new geometric features of string theory which occur even at the classical level as well as those which require non-perturbative effects. These lecture notes are based on an evolving set of lectures presented at a number of schools but most closely follow a series of seven lectures given at the TASI-96 summer school on Strings, Fields and Duality.

研究の動機と目的

• Calabi-Yau 多様体への弦理論の compactification における量子幾何学の出現を、特に非摂動的効果を通じて解明すること。
• 鏡映性が、異なる古典的幾何を持つにもかかわらず物理的に同等となるように、位相的に異なる Calabi-Yau 多様体を双対性によって関連付ける仕組みを説明すること。
• 古典幾何学では禁じられていたトポロジーの変化が、conifold および flop 遷移を通じて弦理論において滑らかに起こり得る仕組みを調査すること。
• toral幾何学と conformal field theory を用いて、Kähler 変形および複素構造変形のモジュライ空間を異なる幾何的位相にわたって統一すること。
• 双対性が強い結合弦理論を弱い結合双対に接続する役割を確立すること。これには M-theory や heterotic compactification も含まれる。

提案手法

• N=2 超 conformal field theory を用いて、Calabi-Yau 多様体への弦 compactification の構造を分析し、chiral primary field と spectral flow に注目する。
• N=2 超 conformal algebra を適用して BPS 状態を分類し、U(1) 電荷が鏡映性およびモジュライ空間構造における役割を理解する。
• toral 幾何学を用いて Kähler 変形および複素構造変形のモジュライ空間を記述し、鏡対の明示的構成と特異点の解消を可能にする。
• 複素化された Kähler モジュライ空間を非摂動的効果を含むように拡張することでモジュライ空間を分析し、異なる幾何的位相にわたって統一された構造を明らかにする。
• 漸近的鏡映性および monomial-divisor mirror map を用いて、幾何的不変量と conformal field theory データを関連付ける。
• 双対性を用いて、type II 弦理論における非摂動的 conifold 遷移を、K3×T² 上の heterotic 理論における摂動的遷移に写像し、双対性が特異点を解消する力の高さを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 位相的に異なる二つの Calabi-Yau 多様体が、同じ物理的弦理論を生じさせうる仕組みは何か？
• RQ2 非摂動的効果が、弦 compactification における滑らかなトポロジーの変化を可能にする役割は何か？
• RQ3 Kähler 変形および複素構造変形のモジュライ空間が、完全な非摂動的弦理論のランドスケープにおいてどのように統一されるか？
• RQ4 鏡映性は摂動的幾何学を越えて、非摂動的補正を含む形でどのように拡張されるか？
• RQ5 双対性は、古典的幾何学ではトポロジーの変化が不連続と見なされるのに対し、量子弦理論の枠組み内でどのようにその不連続性を解消するか？

主な発見

• 鏡映性は、互いに複素多様体として同型ではないにもかかわらず、位相的に異なる Calabi-Yau 多様体同士の物理的同等性を確立する。一方が他方の鏡である。
• flop によるトポロジーの変化は、弦理論において滑らかで連続的であり、摂動的レベルでも起こり得る。これは古典的幾何的直観に反する。
• conifold は非摂動的弦理論的効果を必要とし、heterotic 理論の双対的記述において摂動的遷移として現れるため、特異点が解消される。
• Calabi-Yau 3-fold 上の type II 弦理論の全モジュライ空間は連結で統一されており、大半径、conifold、小半径といった異なる幾何的位相が双対性によって一つの成分を形成する。
• 鏡対の同型を達成するためには、複素化された Kähler モジュライ空間に非摂動的補正を含める必要があり、古典幾何学が示唆するよりも豊かな量子幾何学が明らかになる。
• toral 幾何学は、鏡多様体の構成と分析に強力なフレームワークを提供し、monomial-divisor mirror map は幾何的不変量と conformal field theory データを関連付ける。