[論文レビュー] Level sets and non Gaussian integrals of positively homogeneous functions

Jean B. Lasserre|arXiv (Cornell University)|Oct 30, 2011

Advanced Optimization Algorithms Research参考文献 11被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、正同次関数の下水準集合の体積についての凸性を確立し、作用独立性を通じて非ガウス積分とレベル集合体積の驚くべき関係を導出する。関数 $ h $ を $ \{\mathbf{x} : g(\mathbf{x}) \leq y\} $ 上で積分することは、$ \mathbb{R}^n $ 上で $ h\exp(-g) $ を積分するものと比例し、比例定数は同次度と関数 $ \phi $ のみに依存する。主な結果は、多項式係数に関する体積の凸性であり、最小体積包含問題に対する新しい凸最適化スキームの構築を可能にする。

ABSTRACT

We investigate various properties of the sublevel set $\{x \,:\,g(x)\leq 1\}$ and the integration of $h$ on this sublevel set when $g$ and $h$are positively homogeneous functions. For instance, the latter integral reduces to integrating $h\exp(-g)$ on the whole space $R^n$ (a non Gaussian integral) and when $g$ is a polynomial, then the volume of the sublevel set is a convex function of the coefficients of $g$. In fact, whenever $h$ is nonnegative, the functional $\int ϕ(g(x))h(x)dx$ is a convex function of $g$ for a large class of functions $ϕ:R_+ o R$. We also provide a numerical approximation scheme to compute the volume or integrate $h$ (or, equivalently to approximate the associated non Gaussian integral). We also show that finding the sublevel set $\{x \,:\,g(x)\leq 1\}$ of minimum volume that contains some given subset $K$ is a (hard) convex optimization problem for which we also propose two convergent numerical schemes. Finally, we provide a Gaussian-like property of non Gaussian integrals for homogeneous polynomials that are sums of squares and critical points of a specific function.

研究の動機と目的

• 下水準集合 $ \{\mathbf{x} : g(\mathbf{x}) \leq 1\} $ の性質と、$ g $ と $ h $ が正同次関数であるときの $ h $ のこれらの集合上での積分を調査すること。
• 下水準集合上での $ h $ の積分と非ガウス積分 $ \int_{\mathbb{R}^n} h\exp(-g)\,d\mathbf{x} $ の間の関数的関係を確立し、広範な関数クラス $ \phi $ に対して作用独立性を示すこと。
• 非負の同次多項式 $ g $ に対して、下水準集合 $ \{\mathbf{x} : g(\mathbf{x}) \leq 1\} $ の体積が $ g $ の係数の関数として凸であることを証明すること。
• 下水準集合上の体積の計算や $ h $ の積分のための数値近似スキームを構築し、最小体積下水準集合包含問題を凸最適化によって解くこと。
• 同次多項式の平方和である場合に、非ガウス積分がガウス的挙動を示し、特定の汎関数の臨界点を同定すること。

提案手法

• 一般化された作用独立性恒等式を導出：$ \int_{\mathbb{R}^n} \phi(g(\mathbf{x}))h(\mathbf{x})\,d\mathbf{x} = C(\phi,d,p) \cdot \int_{\mathbb{R}^n} h(\mathbf{x})\exp(-g(\mathbf{x}))\,d\mathbf{x} $、ここで $ C(\phi,d,p) $ は $ \phi $、次数 $ d $、$ h $ の同次度 $ p $ のみに依存する。
• オイラーの恒等式とスケーリングの議論を用いて、積分 $ \int_{\{g(\mathbf{x}) \leq y\}} h(\mathbf{x})\,d\mathbf{x} $ が $ y^{(n+p)/d} $ のようにスケーリングされることを証明し、ガンマ関数を含む明示的公式を導出する。
• ファトウの補題とボレル測度の弱-*コンパクト性を用いて、多項式列の収束を証明し、凸最適化問題における最適性を確立する。
• 半定型計画法とモーメント緩和技術に基づく、最小体積下水準集合包含問題を解く2つの収束する数値スキームを提案する。
• $ C_d(\mathbf{K}) $、すなわちコンパクト集合 $ \mathbf{K} $ 上の非負同次多項式の集合の双対錐を、$ \mathbf{K} $ 上の有限ボレル測度のモーメント列の集合として特徴付ける。
• 双対錐の構造を用いて、体積最小化問題の最適解が、実行可能多項式列の極限で達成されることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正同次関数 $ h $ を下水準集合 $ \{\mathbf{x} : g(\mathbf{x}) \leq y\} $ 上で積分することは、非ガウス積分 $ \int_{\mathbb{R}^n} h(\mathbf{x})\exp(-g(\mathbf{x}))\,d\mathbf{x} $ を用いて表現可能か？
• RQ2 非負の同次多項式 $ g $ に対して、下水準集合 $ \{\mathbf{x} : g(\mathbf{x}) \leq 1\} $ の体積は、$ g $ の係数の関数として凸か？
• RQ3 与えられたコンパクト集合 $ \mathbf{K} $ を含む最小体積下水準集合を求める問題は、凸最適化問題として定式化可能か？
• RQ4 平方和である同次多項式の非ガウス積分はガウス的挙動を示すか？
• RQ5 コンパクト集合 $ \mathbf{K} $ 上の非負同次多項式の集合 $ C_d(\mathbf{K}) $ の双対錐は何か？また、測度のモーメント列とどのように関係するか？

主な発見

• 積分 $ \int_{\{g(\mathbf{x}) \leq y\}} h(\mathbf{x})\,d\mathbf{x} $ は、$ \int_{\mathbb{R}^n} h(\mathbf{x})\exp(-g(\mathbf{x}))\,d\mathbf{x} $ に比例し、比例定数は $ g $ と $ h $ の同次度および関数 $ \phi $ のみに依存する。
• 次数 $ d $ の非負同次多項式 $ g $ に対して、$ \{\mathbf{x} : g(\mathbf{x}) \leq 1\} $ の体積は $ g $ の係数の関数として凸である。
• $ h $ が非負で $ g $ が非負同次多項式であるとき、関数 $ \int \phi(g(\mathbf{x}))h(\mathbf{x})\,d\mathbf{x} $ は、$ \mathbb{R}_+ \to \mathbb{R} $ である広範な関数クラス $ \phi $ に対して $ g $ の関数として凸である。
• 与えられたコンパクト集合 $ \mathbf{K} $ を含む最小体積下水準集合は凸最適化問題として定式化可能であり、その問題を解く2つの収束する数値スキームが提案されている。
• $ C_d(\mathbf{K}) $、すなわちコンパクト集合 $ \mathbf{K} $ 上の非負同次多項式の集合の双対錐は、$ \mathbf{K} $ 上の有限ボレル測度のモーメント列の集合である。
• 同次多項式が平方和である場合、非ガウス積分 $ \int_{\mathbb{R}^n} \exp(-g(\mathbf{x}))\,d\mathbf{x} $ はガウス的挙動を示し、特定の汎関数の臨界点が同定された。