[論文レビュー] Leveraging Diversity and Sparsity in Blind Deconvolution

Ali Ahmed, Laurent Demanet|arXiv (Cornell University)|Oct 19, 2016

Sparse and Compressive Sensing Techniques参考文献 26被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、巡回畳み込み $\bm{y}_n = \bm{w} * \bm{x}_n$ からスパースなインパulse応答 $\bm{w}$ と複数の入力信号 $\bm{x}_n$ を同時に回復するための凸最適化フレームワークを提案する。核ノルム最小化と $\bm{w}$ のスパarsity、$\bm{x}_n$ の $K$ 次元部分空間における多様性を活用することで、$K + S\log^2 S \lesssim L / \log^4(LN)$ かつ $N \gtrsim \log^2(LN)$ の条件下で正確な回復が達成される。これは、$\bm{w}$ に対して固定部分空間仮定を必要としない盲目的畳み込みの理論的結果として初めてのものである。

ABSTRACT

This paper considers recovering $L$-dimensional vectors $\boldsymbol{w}$, and $\boldsymbol{x}_1,\boldsymbol{x}_2, \ldots, \boldsymbol{x}_N$ from their circular convolutions $\boldsymbol{y}_n = \boldsymbol{w}*\boldsymbol{x}_n, \ n = 1,2,3, \ldots, N$. The vector $\boldsymbol{w}$ is assumed to be $S$-sparse in a known basis that is spread out in the Fourier domain, and each input $\boldsymbol{x}_n$ is a member of a known $K$-dimensional random subspace. We prove that whenever $K + S\log^2S \lesssim L /\log^4(LN)$, the problem can be solved effectively by using only the nuclear-norm minimization as the convex relaxation, as long as the inputs are sufficiently diverse and obey $N \gtrsim \log^2(LN)$. By "diverse inputs", we mean that the $\boldsymbol{x}_n$'s belong to different, generic subspaces. To our knowledge, this is the first theoretical result on blind deconvolution where the subspace to which $\boldsymbol{w}$ belongs is not fixed, but needs to be determined. We discuss the result in the context of multipath channel estimation in wireless communications. Both the fading coefficients, and the delays in the channel impulse response $\boldsymbol{w}$ are unknown. The encoder codes the $K$-dimensional message vectors randomly and then transmits coded messages $\boldsymbol{x}_n$'s over a fixed channel one after the other. The decoder then discovers all of the messages and the channel response when the number of samples taken for each received message are roughly greater than $(K+S\log^2S)\log^4(LN)$, and the number of messages is roughly at least $\log^2(LN)$.

研究の動機と目的

• 入力信号とインパulse応答の両方が未知である盲目的システム同定の課題に対処すること。
• 従来の手法がインパulse応答 $\bm{w}$ の既知の部分空間を仮定していたのを克服し、$\bm{w}$ が既知の基底においてスパースであるが固定部分空間制約がない場合に適応可能にすること。
• 核ノルム最小化による凸緩和のみを用いて、弱い構造的仮定のもとで $\bm{w}$ と $\bm{x}_n$ の正確な回復を可能にすること。
• 核ノルム最小化が、$\bm{w}$ が既知の基底において $S$ スパースであると仮定するだけの条件下でも、高い確率で回復可能である理論的条件を確立すること。
• 無線通信分野の実世界問題、例えばマルチパスチャネル推定に直接適用可能な実用的フレームワークを提供すること。

提案手法

• joint sparsity と low-rank 構造の両方を緩和するため、核ノルム最小化を用いて同時にスパースかつランク1の行列を回復する問題に定式化する。
• 各入力 $\bm{x}_n$ は既知の $K$ 次元のランダム部分空間上にあると仮定し、基底行列 $\bm{C}_n$ でパラメータ化することで、構造的回復を可能にする。
• $\bm{w}$ のスパarsity は既知の基底 $\bm{B}$ において強制され、$\bm{w} = \bm{B}\bm{h}$ かつ $\|\bm{h}\|_0 \leq S$ とし、基底がフーリエ領域で非一様性（incoherent）であると仮定する。
• $\bm{w}$ と $\bm{x}_n$ から構築されるリフトド行列に対して、核ノルム最小化を適用し、リフト空間における低ランク構造を活用する。
• ランダムな入力多様性は、$\bm{x}_n$ が異なる一般部分空間を span することによりモデル化され、システム同定のための十分な励起を保証する。
• ランダム行列理論と低ランク行列回復の道具を用いて、測定数 $N$ と部分空間次元 $K$ の境界を用いて、高確率での回復を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 盲的な畳み込みにおいて、$\bm{w}$ と $\bm{x}_n$ の正確な回復が保証されるための、測定数 $N$、入力部分空間次元 $K$、スパarsity $S$ の条件は何か？
• RQ2 インパULSE応答 $\bm{w}$ のための固定部分空間仮定を必要とせず、スパarsity を活用できる回復が可能か？
• RQ3 入力多様性（異なる一般部分空間に属する入力）は、$\bm{w}$ と $\bm{x}_n$ の同定可能性にどのように影響するか？
• RQ4 $\bm{w}$ が $S$ スパースで、入力が $K$ 次元部分空間上にある場合に、成功した回復に必要な最小測定数 $N$ は何か？
• RQ5 核ノルム最小化のみで、追加の正則化や制約なしに、これらの構造的仮定のもとで正確な回復が保証されるか？

主な発見

• 入力が多様であると仮定すると、$K + S\log^2 S \lesssim L / \log^4(LN)$ の条件下で、$\bm{w}$ と $\bm{x}_n$ の正確な回復が高確率で可能である。
• 十分な多様性とシステム同定性を確保するため、測定数 $N$ は $N \gtrsim \log^2(LN)$ を満たす必要がある。
• 従来の研究とは異なり、$\bm{w}$ が既知の部分空間上にある必要がないため、インパULSE応答が基底においてスパースであるとだけ仮定される状況に適用可能である。
• 追加のスパarsity を促進する制約を除き、核ノルム最小化のみで回復が保証される。
• 理論的フレームワークは、$\bm{w}$ がチャネルインパULSE応答（フェージング係数と遅延）を表し、$\bm{x}_n$ が符号化されたメッセージを表すマルチパスチャネル推定に直接適用可能である。
• 数値的結果と理論的分析により、本手法が情報理論的限界にまで対数的要因を除き近いサンプル複雑度で回復を達成することが確認された。