[論文レビュー] Lichnerowicz cocycles and central Lie group extensions

Cornelia Vizman|arXiv (Cornell University)|Jul 31, 2010

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 13被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、非線形グレアマンニアン上のハミルトニアン作用とプリクアンタム化を用いて、体積形式を保存する微分同相写像の被覆群の中心拡大を、リクノロヴィッチコサイクルを通じて構成する。Lichnerowiczコサイクルが統合される最小被覆群 $\overline{\rm Diff}(M,\mu)$ を同定し、それに対応するシンプレクティック多様体を中心拡大内のプリクアンタム可能共伴軌道として実現することで、運動量写像とプリクアンタムバンドルの引き戻しを通じて、拡大の幾何的実現が得られる。

ABSTRACT

We present a geometric construction of central extensions of covering groups of the group of volume preserving diffeomorphisms, integrating central extensions of the Lie algebra of divergence free vector fields defined by Lichnerowicz cocycles. Certain covering spaces of non-linear Grassmannians can be realized as prequantizable coadjoint orbits in these Lie group extensions.

研究の動機と目的

• 体積形式を保存する微分同相写像の被覆群の中心的リー群拡大を、プリクアンタム化とハミルトニアン作用を用いて幾何的に実現すること。
• Lichnerowiczコサイクルが統合される最小被覆群 $\overline{\text{Diff}}(M,\mu)$ を特定すること。
• 非線形グレアマンニアンの特定の被覆空間が、これらの中心拡大内でのプリクアンタム可能共伴軌道として生じることを示すこと。
• フラックス同型写像とリー代数の2次コサイクルの統合可能性との間の対応を確立すること。

提案手法

• ハミルトニアン作用を用いてシンプレクティック多様体上のプリクアンタム中心拡大の引き戻しにより、中心的リー群拡大を構成する。
• 運動量写像を用いて、シンプレクティック多様体 $\bar{\mathcal{M}}$ を中心拡大の共伴軌道として実現する。
• 最小被覆群 $\overline{\text{Diff}}(M,\mu)$ を、$\widetilde{\text{Diff}}(M,\mu)_0 / \Pi_{\mathcal{M}}$ として定義する。ここで $\Pi_{\mathcal{M}}$ は $\pi_1(\mathcal{M}) \to H_{m-1}(M,\mathbb{R})$ への射影の核である。
• フラックス同型写像を用いて、発散なしベクトル場のリー代数上でのLichnerowiczコサイクル $\omega_{N_0}$ の統合可能性を特定する。
• 多様体 $\bar{\mathcal{M}}$ 上のシンプレクティック形式 $q^*\tilde{\mu}$ が $\overline{\text{Diff}}(M,\mu)_0$ の作用に関して不変であり、かつ運動量写像 $\bar{J}([N_t])(X) = \int_{[N_t]} i_X \mu$ を持つハミルトニアン作用であることを示す。
• プリクアンタム拡大の $\bar{\mathcal{M}}$ 上での引き戻しが、$\omega_{N_0}$ を統合する中心拡大をもたらすことを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 体積形式を保存する微分同相写像群 $\text{Diff}(M,\mu)_0$ の、Lichnerowiczコサイクル $\omega_{N_0}$ が統合される最小被覆群は何か？
• RQ2 普遍被覆 $\widetilde{\text{Diff}}(M,\mu}_0$ の中心拡大は、どのようにプリクアンタム化を用いて幾何的に実現できるか？
• RQ3 被覆空間 $\bar{\mathcal{M}} = \widetilde{\mathcal{M}} / \Pi_{\mathcal{M}}$ は、中心的リー群拡大内でのプリクアンタム可能共伴軌道として実現可能か？
• RQ4 フラックス同型写像は、Lichnerowiczコサイクルの統合可能性を妨げるか、あるいは可能にするか、その役割は何か？
• RQ5 多様体 $\bar{\mathcal{M}}$ 上の運動量写像 $\bar{J}$ は、中心拡大の共伴軌道構造とどのように関係するか？

主な発見

• 最小被覆群 $\overline{\text{Diff}}(M,\mu)$ は、$\widetilde{\text{Diff}}(M,\mu)_0 / \Pi_{\mathcal{M}}$ として構成され、ここで $\Pi_{\mathcal{M}}$ は $\pi_1(\mathcal{M}) \to H_{m-1}(M,\mathbb{R})$ への射影の核である。この構成により、Lichnerowiczコサイクル $\omega_{N_0}$ の統合可能性が保証される。
• シンプレクティック多様体 $\bar{\mathcal{M}} = \widetilde{\mathcal{M}} / \Pi_{\mathcal{M}}$ は、$\overline{\text{Diff}}(M,\mu)_0$ および $\widetilde{\text{Diff}}(M,\mu)_0$ の中心拡大内のプリクアンタム可能共伴軌道である。
• Lichnerowiczコサイクル $\omega_{N_0}$ を統合する $\overline{\text{Diff}}(M,\mu)_0$ の中心拡大は、ハミルトニアン作用を介して $\bar{\mathcal{M}}$ 上でのプリクアンタム中心拡大の引き戻しにより得られる。
• 運動量写像 $\bar{J}([N_t])(X) = \int_{[N_t]} i_X \mu$ は $\bar{\mathcal{M}}$ 上で適切に定義されており、単射であるため、共伴軌道構造が確認される。
• $\widetilde{\text{Diff}}(M,\mu}_0$ および $\overline{\text{Diff}}(M,\mu)_0$ の $\bar{\mathcal{M}}$ 上での作用は、$q^*\tilde{\mu}$ に関してハミルトニアンであり、基本ベクトル場は $Tq.\bar{\zeta}_X = \zeta_X$ を満たす。
• プリクアンタム拡大の引き戻しにより、$\omega_{N_0}$ を統合する中心的リー群拡大が得られ、$\bar{\mathcal{M}}$ 上のシンプレクティック形式は $-q^*\tilde{\mu}(\bar{\zeta}_X, \bar{\zeta}_Y) = \omega_{N_0}(X,Y)$ を満たす。