[論文レビュー] Lie algebras : Classification, Deformations and Rigidity

Michel Goze|ArXiv.org|Nov 26, 2006

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 12被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、複素有限次元リー代数の分類、変形、剛性について包括的な概説を提供する。剛性リー代数とは、一般線形群の作用における軌道がリー代数の集合の多様体において開集合であるものであり、本稿ではそれが必ず代数的であることを確立し、第二コホモロジー群の消失を用いて半単純リー代数が剛性を有することを証明する。さらに、コホモロジー的および変形理論的道具を用いてモジュライ空間の幾何的構造について深い洞察を与える。

ABSTRACT

In the first section we recall some basic notions on Lie algebras. In a second time we study the algebraic variety of complex $n$-dimensional Lie algebras. We present different notions of deformations : Gerstenhaber deformations, pertubations, valued deformations and we use these tools to study some properties of this variety. Finaly we introduce the concept of rigidity and we present some results on the class of rigid Lie algebras.

研究の動機と目的

• 複素有限次元リー代数を代数幾何学および変形理論を用いて分類すること。
• 複素リー代数の $ n $ 次元の多様体 $ L_n $ の幾何的構造を分析すること。
• 軌道の開性およびコホモロジー的条件を用いてリー代数の剛性を定義し、研究すること。
• 複素リー代数において剛性と代数的性の同値性を確立すること。
• 特に $ H^2(rak{g}, rak{g}) $ が剛性の特徴づけおよびスキーム $ rak{L}_n $ の非単純構造に果たす役割を調査すること。

提案手法

• 構構造定数がヤコビ恒等式を満たすことでパラメトライズされる $ n $ 次元複素リー代数の代数的多様体 $ L_n $ を用いる。
• ゲルステンハーバーの変形理論を適用し、第二コホモロジー空間 $ H^2(rak{g}, rak{g}) $ を用いて無限小変形を研究する。
• リー代数が $ GL(n, bC) $ によって作用する軌道の接空間を、内部導分 $ B^2(rak{g}, rak{g}) $ の空間と同定する。
• その還元構造が $ L_n $ に対応するスキーム $ rak{L}_n $ を研究し、$ H^2(rak{g}, rak{g}) \neq 0 $ の条件を用いて特異点を分析する。
• イントン＝ウィグナーおよびヴィエマール＝ウーズの縮約を用いて、異なるリー代数の関係を確立し、その退化を研究する。
• ニエンフイズ＝リチャードソンの定理を適用：$ H^2(\frak{g}, \frak{g}) = 0 $ ならば $ \frak{g} $ は剛性を有する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの複素リー代数が剛性を有するのか。幾何的またはコホモロジー的条件でどのように特徴づけられるか。
• RQ2 $ H^2(\frak{g}, \frak{g}) $ の消失が剛性とどのように関係するのか。また、$ H^2 $ が非ゼロである剛性リー代数は存在するか。
• RQ3 リー代数の剛性と代数的性の関係は何か。分類にどのように利用できるか。
• RQ4 イントン＝ウィグナーおよびヴィエマール＝ウーズの縮約は、異なるリー代数をどのように関連づけ、それらの幾何的構造を反映するか。
• RQ5 スキーム $ \frak{L}_n $ の点 $ \nu $ における非単純性は、$ \nu $ に対応するリー代数 $ \frak{g} $ に対して何を意味するか。

主な発見

• すべての複素半単純リー代数は、$ H^2(\frak{g}, \frak{g}) = 0 $ であるため、$ GL(n, \bbC) $ による軌道が開集合であるため剛性を有する。
• $ H^2(\frak{g}, \frak{g}) \neq 0 $ である剛性リー代数が存在する。これは、$ H^2 $ の消失が剛性の十分条件ではあるが、必要条件ではないことを示している。
• スキーム $ \frak{L}_n $ が点 $ \nu $ で非単純であることは、$ \frak{g} $ に対応する点 $ \nu $ に対して $ H^2(\frak{g}, \frak{g}) \neq 0 $ であることと同値であり、非自明な無限小構造を示している。
• すべての剛性複素リー代数は代数的である。つまり、線形代数的群のリー代数として現れる。
• 剛性リー代数は $ \frak{g} = \frak{s} \rtimes (\frak{n} \rtimes \frak{t}) $ の形に分解可能であり、$ \frak{s} $ は半単純、$ \frak{n} $ はノルムルーブ、$ \frak{t} $ は代数的随伴表現を有するマルツェフトーラスである。
• 代数的性および剛性の条件を用いることで、8次元のリー代数や、フィリフォルムノルムルーブをもつ剛性可解代数の分類が可能である。