[論文レビュー] Lie Algebroids over Differentiable Stacks

James Waldron|arXiv (Cornell University)|Nov 23, 2015

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 14被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、微分可能スタック上のリー代数的バンドルの包括的な理論を構築し、多様体上の古典的理論を、圧縮写像に関する降下、リー代数的バンドルのスタックの定義、コホモロジー理論の構成、および $σ$-群ガロアとの関連を通じて拡張する。主な貢献は、特異的・商幾何に一般化された完全なカテゴリカルかつスタック理論的定式化であり、接スタック、ポアソン構造、エタールスタック上の表現への応用を含む。

ABSTRACT

We develop a theory of Lie algebroids over differentiable stacks that extends the standard theory of Lie algebroids over manifolds. In particular we show that Lie algebroids satisfy descent for submersions, define the category of Lie algebroids over a differentiable stack, construct a cohomology theory for these objects, and explain the relation to the theory of $\mathcal{LA}$-groupoids. We construct a number of examples.

研究の動機と目的

• 滑らかな多様体上のリー代数的バンドルの古典的理論を、微分可能スタックの設定に一般化すること。
• 圧縮写像に沿ったリー代数的バンドルの降下理論を確立し、局所データによるスタック上での定義を可能にすること。
• 2-カテゴリカルおよび層理論的手法を用いて、表現やコホモロジーを含む、スタック理論的フレームワークとしてのリー代数的バンドルを定義すること。
• リー代数的バンドルと $σ$-群ガロアの間の関係を、特に総スタック構成を通じて明確にすること。
• 接スタック、エタールスタック上のポアソン構造、自明なトランジティブリー代数的バンドルといった具体的な例を提供すること。

提案手法

• 微分可能スタックを、圧縮写像またはエタール写像を伴う多様体の圏上の弱層（groupoid値）関手として扱うために、2-ヤオダの補題とグローテンディーク構成を用いる。
• アトラスに沿った引き戻しにより、スタック $χ$ 上のリー代数的バンドルを定義し、基底変換および降下に関して整合性を保証する。
• スタックのエタールまたは圧縮写像の圏上の層コホモロジーを用いて、スタック上のリー代数的バンドルのド・ラーム複体およびコホモロジーを構成する。
• 引き戻しと基底変換の形式的枠組みを用いて、スタック設定への表現および係数付きコホモロジーの拡張を実現する。
• 総スタック構成を通じて、スタック上のリー代数的バンドルと $σ$-群ガロアとの間の対応を確立し、古典的群ガロア–リー代数的バンドル双対性を一般化する。
• 群ガロアの分類スタックを用いて、特に作用や分岐代数の文脈で、スタック上のリー代数的バンドルを定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スタックが多様体でない以上、リー代数的バンドルを微分可能スタック上で一貫して定義する方法は何か？
• RQ2 リー代数的バンドルの古典的理論は圧縮写像に関して降下を満たすか？ もしそうなら、カテゴリカルにどのように形式化できるか？
• RQ3 多様体上のリー代数的バンドルのド・ラームコホモロジーを一般化する、スタック上のリー代数的バンドルのコホモロジー理論を構成可能か？
• RQ4 スタック上のリー代数的バンドルと $σ$-群ガロアとの関係は何か？ これは古典的双対性をどのように拡張するか？
• RQ5 ポアソン的またはシンプレクティックな構造といった標準的な幾何的構造は、リー代数的バンドルを通じてどのようにエタールスタックの設定に一般化されるか？

主な発見

• 微分可能スタック上のリー代数的バンドルは圧縮写像に関して降下を満たし、アトラス上の局所データが一貫して貼り合わされる。
• スタック上のリー代数的バンドルの圏はスタックをなし、その表現の圏もスタックをなし、グローバルなコホモロジー的枠組みを可能にする。
• スタック上のリー代数的バンドルのド・ラーム複体は、エタールまたは圧縮写像の圏上の層コホモロジーを用いて構成され、古典的ド・ラーム複体を一般化する。
• 接スタック $T\mathfrak{X}$ はリー代数的バンドル $\mathbf{T}\mathfrak{X}$ に同型であり、任意の微分可能スタックの接スタックに自然なリー代数的バンドル構造を与える。
• エタールスタック上のポアソン構造は、余接バンドル上のリー代数的バンドル構造によって特徴付けられ、総スタック構成から生じる $\mathcal{LA}$-群ガロアが関係する。
• スタック $\mathfrak{X}$ 上の自明なトランジティブリー代数的バンドルは、$\mathfrak{g}$ をリー代数として $\underline{\mathfrak{g}} \oplus \mathbf{T}\mathfrak{X}$ に同型である。ここで $\underline{\mathfrak{g}}$ は定数リー代数的バンドルを表す。