[論文レビュー] LIE-HOPF ALGEBRAS AND LOOP HOMOLOGY OF SUSPENSION SPACES

Victor Matveevich Buchstaber|arXiv (Cornell University)|Nov 11, 2010

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 14被引用数 1

ひとこと要約

この論文は、位相空間 X に対する新しいホモトピー不変量を導入する。それは整数環 ℤ 上でのループ空間ホモロジー H∗(ΩΣX; ℤ) の同型類として定義され、これはホップ代数である。この不変量は、このホップ代数が Lie-ホップ代数（すなわち、原始的生成）に同型であるときに限り自明であり、ある空間 Y に対してホモトピー同値 ΣX ≃ Σ²Y が存在しないことを示す障害となる。

ABSTRACT

ABSTRACT. For an arbitrary topological space X, the loop space homology H∗(ΩΣX; Z) is a Hopf algebra. We introduce a new homotopy invariant of a topological space X taking for its value the isomorphism class (over the integers) of the Hopf algebra H∗(ΩΣX; Z). This invariant is trivial if and only if the Hopf algebra H∗(ΩΣX; Z) is isomorphic to a Lie-Hopf algebra, that is, to a primitively generated Hopf algebra. We show that for a given X these invariants are obstructions to the existence of a homotopy equivalence ΣX ≃ Σ 2 Y for some space Y. We further investigate relations between this new invariant and well known classical invariants and constructions in homotopy theory. 1.

研究の動機と目的

• 位相空間 X に対して、整数環 ℤ 上でのループ空間ホモロジー H∗(ΩΣX; ℤ) の同型類を用いて新しいホモトピー不変量を定義すること。
• この不変量が自明である、すなわちホップ代数 H∗(ΩΣX; ℤ) が Lie-ホップ代数に同型である場合に特徴づけること。
• この不変量が、ある空間 Y に対してホモトピー同値 ΣX ≃ Σ²Y が存在しないことを示す障害となることの確立。
• この新しい不変量をホモトピー論における古典的不変量や構成と関連付けること。

提案手法

• 論文は任意の位相空間 X に対して H∗(ΩΣX; ℤ) のホップ代数構造を研究する。
• このホップ代数の ℤ 上での同型類として新しい不変量を定義する。
• 原始的生成という性質を用いて、不変量の自明性を特徴づける。すなわち、Lie-ホップ代数への同型であること。
• 代数的およびホモトピー的技法を用いて、この不変量とススペンション空間の分解の存在との関係を明らかにする。
• スペクトル系列やコホモロジー作用素から生じる既知の不変量と、この不変量との関係を調査する。
• 既知のホップ代数およびループ空間に関する結果を応用し、ΣX における構造的制約を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ホップ代数 H∗(ΩΣX; ℤ) が整数環 ℤ 上で Lie-ホップ代数に同型であるのはいつか？ そしてこれは空間 X にどのような意味を持つのか？
• RQ2 H∗(ΩΣX; ℤ) の同型類が、ある空間 Y に対して ΣX がホモトピー同値 Σ²Y に同値でないことを示す障害としてどのように機能するか？
• RQ3 この新しい不変量と、コホモロジーまたはホモトピー群から導かれるようなホモトピー論における古典的不変量との関係は何か？
• RQ4 どのような場合にホップ代数 H∗(ΩΣX; ℤ) が原始的生成でなくなるか？ そしてこれは X のホモトピー型に何を示唆するか？
• RQ5 この不変量を用いて、ススペンション空間の異なるホモトピー型をどのように区別できるか？

主な発見

• この不変量は、H∗(ΩΣX; ℤ) が Lie-ホップ代数に同型（すなわち、原始的生成）であるときに限り自明である。
• この不変量は、任意の空間 Y に対してホモトピー同値 ΣX ≃ Σ²Y が存在しないことを示す障害となる。
• 任意の位相空間 X に対して、ホップ代数 H∗(ΩΣX; ℤ) は常にホップ代数である。
• この不変量は、ススペンション空間のホモトピー型を研究するための新しい代数的道具を提供する。
• この構成は、古典的不変量では見えない、ループ空間ホモロジーにおける構造的制約を明らかにする。
• 論文は、ホップ代数の代数的性質とススペンション分解の幾何的実現可能性との間にリンクを確立する。