[論文レビュー] Lie-Hopf algebras and their Hopf cyclic cohomology

Bahram Rangipour, Serkan Sütlü|arXiv (Cornell University)|Dec 21, 2010

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 24被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、Lie代数、Lie群、およびアフィン代数群のマッチドペアから、非可換かつ非ココクリアティブなホップ代数を構成する枠組みとしてLie-Hopf代数を導入する。また、不変性および微分作用の条件下で、これらの構造とホップ循環コホモロジーの間の標準的関係を確立し、結果として得られる双交叉積ホップ代数の特定のSAYDモジュールを係数とするコホモロジーが、マッチドLie代数のレヴィ部分代数に関する相対Lie代数コホモロジーと同型であることを示す。

ABSTRACT

The correspondence between Lie algebras, Lie groups, and algebraic groups, on one side and commutative Hopf algebras on the other side are known for a long time by works of Hochschild-Mostow and others. We extend this correspondence by associating a noncommutative noncocommutative Hopf algebra to any matched pair of Lie algebras, Lie groups, and affine algebraic groups. We canonically associate a modular pair in involution to any of these Hopf algebras. More precisely, to any locally finite representation of a matched pair object as above we associate a SAYD module to the corresponding Hopf algebra. At the end, we compute the Hopf cyclic cohomology of the associated Hopf algebra with coefficients in the aforementioned SAYD module in terms of Lie algebra cohomology of the Lie algebra associated to the matched pair object relative to an appropriate Levi subalgebra with coefficients induced by the original representation.

研究の動機と目的

• マッチドペアによるLie群、Lie代数、および可換ホップ代数の古典的対応を、非可換かつ非ココクリアティブなホップ代数へと拡張すること。
• ホップ代数の全代数を事前に仮定せずに、双交叉積ホップ代数を構成するための概念的ツールとしてLie-Hopf代数を定義すること。
• これらのホップ代数にモジュラーペair in involutionおよびSAYDモジュールのクラスを標準的に関連付けること。
• 相対Lie代数コホモロジーの観点から、得られたホップ代数のホップ循環コホモロジーを計算すること。

提案手法

• Lie代数、Lie群、およびアフィン代数群のマッチドペアを記述する代数的構造としてLie-Hopf代数を定義する。
• 双対性とコアクションの整合性を用いて、これらのマッチドペアから双交叉積ホップ代数を構成する。
• 群の関数代数とそのLie代数の普遍包あくり代数の間のホップ双対性を確立する。
• 作用とコアクションの整合性を保証するため、$(\mathfrak{g}_1, \mathfrak{g}_2)$-関連ホップ代数の概念を導入する。
• 非可換な設定への古典的レヴィ分解の一般化として、ホップ代数の$\mathcal{F}$-レヴィ分解を定義する。
• 二重複体の構成を用いてホップ循環コホモロジーを計算し、二重複体の写像を通じて主要な同型を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして、Lie代数またはLie群のマッチドペアから、非可換かつ非ココクリアティブなホップ代数を体系的に構成できるか？
• RQ2 マッチドペアから得られるホップ代数が、そのコアクション構造と整合するレヴィ分解を有するための条件は何か？
• RQ3 このようなホップ代数のホップ循環コホモロジーは、基礎となるマッチドLie代数の相対Lie代数コホモロジーとどのように関係するか？
• RQ4 Lie代数コホモロジーとホップ循環コホモロジーの構造を組み合わせた二重複体を用いて、双交叉積ホップ代数のコホモロジーを計算できるか？
• RQ5 誘導されたSAYDモジュールおよびモジュラーペア in involutionが、このコホモロジー的対応において果たす正確な役割は何か？

主な発見

• 双交叉積ホップ代数$\mathcal{F} \blacktriangleright\vartriangleleft U(\mathfrak{g}_1)$の、誘導されたSAYDモジュール$^\sigma M_\delta$を係数とするホップ循環コホモロジーは、$\mathfrak{a} = \mathfrak{g}_1 \bowtie \mathfrak{g}_2$および$\mathcal{F}$-レヴィ部分代数$\mathfrak{h}$に対して、直接和$\bigoplus_{i=\bullet \text{ mod } 2} H^i(\mathfrak{a}, \mathfrak{h}, M)$と同型である。
• Lie群のマッチドペア$(G_1, G_2)$に対して、$R(G_2) \blacktriangleright\vartriangleleft U(\mathfrak{g}_1)$のホップ循環コホモロジーは、代表的モジュール$M$を係数とするもので、$\mathfrak{h}$が$\mathfrak{g}_1$-不変かつ$\mathfrak{g}_1$上で微分作用をもつ限り、$\bigoplus_{i=\bullet \text{ mod } 2} H^i(\mathfrak{g}_1 \bowtie \mathfrak{g}_2, \mathfrak{h}, M)$と同型である。
• レヴィ分解$G_2 = G_2^{\text{red}} \rtimes G_2^{\text{u}}$をもつアフィン代数群のマッチドペア$(G_1, G_2)$に対して、$\mathcal{P}(G_2) \blacktriangleright\vartriangleleft U(\mathfrak{g}_1)$のホップ循環コホモロジーは、多項式$G_1 \bowtie G_2$-モジュール$M$を係数とするもので、$\bigoplus_{i=\bullet \text{ mod } 2} H^i(\mathfrak{g}_1 \bowtie \mathfrak{g}_2, \mathfrak{g}_2^{\text{red}}, M)$と同型である。
• Lie-Hopf代数によるホップ代数の構成は、全代数を事前に与える必要がないため、ホップ代数が双交叉積であることを示す短く概念的な方法を提供する。
• $R(G_2)$と$U(\mathfrak{g}_2)$のペアリングは$U(\mathfrak{g}_1)$-バランスであるため、コアクションと整合性を保ち、コホモロジー的同型を可能にする。
• $\mathfrak{g}_2$の$\mathcal{F}$-レヴィ分解は、関数代数$\mathcal{F}$にも対応する分解を誘導し、非可換な設定への古典的ノートを一般化する。