[論文レビュー] Lifting irreducible Galois representations

Najmuddin Fakhruddin, Chandrashekhar Khare+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 13, 2018

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 25被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、完全実数体上の一般再帰的群への奇数的で非可約な mod $p$ ガロア表現に対して、随伴表現の多重度自由性条件と適切な局所的分岐仮定の下で、幾何的 $p$-進上りが存在することを確立する。$p$ が十分に大きい場合には、このような上りが存在することを証明するとともに、これらの仮定なしに非幾何的上りも提供し、セールのモジュラリティ予想を $\mathrm{GL}_2$ を超えて高ランクの群へ拡張する。

ABSTRACT

We study irreducible mod p representations, valued in general reductive groups, of the Galois group of a number field. When the number field is totally real, we show that odd representations satisfying local ramification hypotheses and a certain multiplicity-free condition on the adjoint representation admit geometric lifts. For general number fields, we show without any oddness or multiplicity condition that the representation admits a p-adic lift if it does everywhere locally.

研究の動機と目的

• 非可約な mod $p$ ガロア表現が再帰的群へ持ち上げられるかどうかという根本的問題に取り組む。
• セールのモジュラリティ予想を $\mathrm{GL}_2$ を超えて、完全実数体上の高ランク再帰的群へ一般化する。
• 随伴表現の多重度自由性条件と局所的分岐制約の下で持ち上げ定理を確立する。
• 幾何的および非幾何的持ち上げ結果を提供し、$\mathrm{GL}_2$ の既知の結果を一般再帰的群へ拡張する。
• 奇数性の概念が一般再帰的群の文脈で果たす役割を調査し、セールの元来の定義を一般化する。

提案手法

• 複素共役の随伴リーリー代数への固定点の次元を用いて、再帰的群へのセールの奇数性条件の一般化を採用する。
• 変形理論と局所的条件を用いて、分岐素数における最小変形を構成し、フォンタイン＝マザールの幾何的性条件と整合させる。
• 潜在的自動性定理とモジュラリティ上り技法を、一般再帰的群に適応して適用する。
• 特性理論と ATLAS データを用いて、特定の有限群（$A_6$、$\mathrm{PSL}_2(\mathbb{F}_{13})$）が例外的群のリーリー代数に奇数的インボリューションとして作用することを検証する。
• $F_4(\overline{\mathbb{F}}_p)$ への残余表現の明示的例を構成し、非幾何的上りを持つものとして、多重度自由条件の必要性を示す。
• フラッグ多様体とワイル群作用の理論を用いて、随伴作用の不変量による奇数的表現の特徴付けを行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 完全実数体上の再帰的群への非可約な mod $p$ ガロア表現が、幾何的 $p$-進上りを持つための条件は何か？
• RQ2 セールの奇数性の概念を $\mathrm{GL}_2$ を超えて再帰的群へどのように一般化できるか？
• RQ3 随伴表現の多重度自由条件が幾何的上りを保証するために果たす役割は何か？
• RQ4 奇数性や多重度自由仮定なしに非幾何的上りを構成できるか？
• RQ5 既知のモジュラリティ上り定理は、随伴表現に非自明な多重度を持つ表現に対してどの程度失敗するか？

主な発見

• $p$ が群と体に依存して十分に大きい場合には、随伴表現の多重度自由性条件を満たす任意の奇数的残余表現は、幾何的 $p$-進上りを持つ。
• 本稿は、$F_4(\overline{\mathbb{F}}_p)$ への残余表現の明示的例を構成し、その像が $A_6$ および $\mathrm{PSL}_2(\mathbb{F}_{13})$ であるが、主な持ち上げ定理の仮定のうち多重度自由条件を除いてすべて満たす。
• これらの例は、[BLGGT14] の潜在的自動性定理を適用するためには多重度自由条件が必要であることを示しており、その形式的特徴は1より大きい多重度を持つためである。
• $F_4$ の随伴表現は、$A_6$ および $\mathrm{PSL}_2(\mathbb{F}_{13})$ に関して、リーリー代数上のトレース計算を通じて奇数性条件を確認する形で分解する。
• 複素共役が $F_4$ のリーリー代数に作用するとき、その不変点の次元はフラッグ多様体の次元に等しく、これらの群に対して奇数性条件が確認される。
• 系 4.10 により、幾何的上りが失敗しても、大きな像を持つ非幾何的上りが存在することが保証され、持ち上げ枠組みの強靭性が示される。