[論文レビュー] Lifting Problems in Grothendieck Fibrations

Andrew Swan|arXiv (Cornell University)|Feb 7, 2018

Dynamics and Control of Mechanical Systems参考文献 20被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、グロテンディークファイブレーションにおける上げ問題の一般化された枠組みを導入し、生成写像の集合をファイブレーション内の垂直写像に置き換えることで、cofibrantly generated および algebraically cofibrantly generated 因数分解を統一する。普遍的な上げ問題の存在を確立し、ガーナーの small object argument をファイブレーション的状況に適応させることで、トポス理論、実現可能性モデル、および立方体型理論における新たな構成が可能になる。

ABSTRACT

Many interesting classes of maps from homotopical algebra can be characterised as those maps with the right lifting property against certain sets of maps (such classes are sometimes referred to as cofibrantly generated). In a more sophisticated notion due to Garner (referred to as algebraically cofibrantly generated) the set of maps is replaced with a diagram over a small category. We give a yet more general definition where the set or diagram of maps is replaced with a vertical map in a Grothendieck fibration. In addition to an interesting new view of the existing examples above, we get new notions, such as computable lifting problems in presheaf assemblies, and internal lifting problems in a topos. We show that under reasonable conditions one can define a notion of universal lifting problem and carry out step-one of Garner's small object argument. We give explicit descriptions of what the general construction looks like in some examples.

研究の動機と目的

• 生成写像の集合を超えて cofibrantly generated 因数分解の概念を一般化するため、グロテンディークファイブレーションに埋め込むこと。
• 特に代数的弱因数分解系（awfs）の文脈において、small object argument をファイブレーション的状況に拡張すること。
• 内部圏、プレシャーフアセンブリ、および余域ファイブレーションにおける上げ問題の統一的取り扱いを提供すること。
• 特に BCH モデルにおいて、立方体型理論におけるカーンファイブレーションおよび全単ファイブレーションの構造を明確にすること。
• ファイブレーション的上げ、豊密化された上げ、および二重圏的上げの概念を共通の一般化枠組みで結びつけること。

提案手法

• ファイブレーション内の垂直写像を用いて、グロテンディークファイブレーションにおける上げ問題を定義し、古典的な上げ図式をファイブレーション的文脈に一般化する。
• 局所的に小さなファイブレーションにおける hom-対象を通じて普遍的な上げ問題の概念を導入し、妥当な条件下でその存在を保証する。
• 特にローヴェールのおよびガーナーの枠組みを用いて、随伴性および (co)モノイドを介したファイブレーション上での関手的因数分解を構成する。
• モノイドファイブレーション上でのファイブレーション的 Leibniz 構成法を適用し、トポスおよび実現可能性モデルにおける内部的因数分解生成を可能にする。
• 余域ファイブレーションおよびカテゴリーインデックス付き族を用いて、立方体集合を含む古典的上げ構造をモデル化する。
• ファイブレーション的状況における代数的自由 awfs および rawfs の存在に関する基準を、ファイブレーション的モノイド構造を活用して確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 グロテンディークファイブレーションを用いることで、生成写像の集合を超えて cofibrantly generated な弱因数分解系をどのように一般化できるか？
• RQ2 small object argument はファイブレーション的構造上でも内部化され、一般化可能か。特にトポスおよび実現可能性モデルの文脈において。
• RQ3 余域ファイブレーションは、立方体型理論における全単ファイブレーションおよびカーンファイブレーションを特徴付ける上で果たす役割は何か？
• RQ4 ファイブレーション的上げ問題は、豊密化された上げ性質および二重圏的上げ構成とどのように関係するか？
• RQ5 ファイブレーション的、豊密化、および二重圏的上げ問題の概念を包含する共通の一般化は存在するか？

主な発見

• 局所的に小さなファイブレーションにおいて普遍的な上げ問題が存在し、small object argument のファイブレーション的一般化が可能になる。
• モノイドファイブレーション上ではファイブレーション的 Leibniz 構成法を定義でき、トポスおよびプレシャーフアセンブリにおける内部的因数分解生成が可能になる。
• BCH の立方体集合モデルにおける全単ファイブレーションは、01-代入集合上の余域ファイブレーションに関して cofibrantly generated である。
• BCH モデルにおけるカーンファイブレーションはカテゴリーインデックス付き族ファイブレーションを介して特徴付けられるが、その構成には非ファイブレーション的モノイド積（分離積）に依存する。
• 本枠組みは、有効トポスおよび関数的実現可能性トポスを含む実現可能性トポスを扱える。これらは非自明なホモトピー的構造を有する。
• シンプソンの独立な四角形の部分圏を用いて、ファイブレーション的モノイド積問題の部分的解決が得られ、分離積のファイブレーション的拡張が可能になる。