[論文レビュー] A homotopy-theoretic model of function extensionality in the effective topos

Daniil Frumin, Benno van den Berg|arXiv (Cornell University)|Jan 29, 2017

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 18被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、接続を持つ区間対象と支配を用いて、有効トポスの全部分トポス上にクィレンモデル構造を構成し、同一型、Σ-型およびΠ-型、関数の拡張性を備えたホモトピー型理論のホモトピー論的モデルを可能にする。主な貢献は、このモデルにおいて、離散的対象がファイブレーション的である、一様に空でない対象がコンパクトである、およびファイブレーション的アセンブリのホモトピー圏が、モダスト集合の圏と同値であるということである。

ABSTRACT

We present a way of constructing a Quillen model structure on a full subcategory of an elementary topos, starting with an interval object with connections and a certain dominance. The advantage of this method is that it does not require the underlying topos to be cocomplete. The resulting model category structure gives rise to a model of homotopy type theory with identity types, $Σ$- and $Π$-types, and functional extensionality. We apply the method to the effective topos with the interval object $ abla 2$. In the resulting model structure we identify uniform inhabited objects as contractible objects, and show that discrete objects are fibrant. Moreover, we show that the unit of the discrete reflection is a homotopy equivalence and the homotopy category of fibrant assemblies is equivalent to the category of modest sets. We compare our work with the path object category construction on the effective topos by Jaap van Oosten.

研究の動機と目的

• cocompleteness を仮定しない有効トポスにおける型理論のホモトピー論的モデルの構築。
• 区間対象と支配を用いて、初等トポスの全部分トポス上にクィレンモデル構造を確立すること。
• 同一型、Σ-型およびΠ-型、関数の拡張性を含むマーチン・ローフ型理論を、このモデルで解釈すること。
• このモデル構造下でのコンパクト対象およびファイブレーション的アセンブリの特徴づけ。
• van Oosten の有効トポス上のパス対象圏との比較。

提案手法

• cocompleteness に依存しない方法で、接続を持つ区間対象と支配を用いて、初等トポスの全部分トポス上にクィレンモデル構造を構成する。
• ファイブレーション的対象上で、3つの写像類（被覆、ファイブレーション、弱同値）を定義し、モデル圏を形成する。
• 有効トポスにおける区間対象 ∇2 を、同一型とパス対象の解釈の基盤として用いる。
• ファイブレーション性と一様性を活用して、パスの持ち上げとホモトピー同値を定義し、特にアセンブリに対して特に有効に活用する。
• 離散的反射とファイブレーション的補完を用いて、ファイブレーション的アセンブリのホモトピー圏とモダスト集合の圏との関係を確立する。
• このモデルは、van Oosten のパス対象圏と比較され、現在の構成がより強いホモトピー論的構造をもたらすことが示された。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 cocompleteness を仮定しない初等トポスの部分トポス上にクィレンモデル構造を構成できるか？
• RQ2 得られたモデル構造は、有効トポスにおけるΠ-型の関数の拡張性を支持するか？
• RQ3 有効トポスにおける一様に空でない対象は、このモデルでコンパクト対象と同値か？
• RQ4 ファイブレーション的アセンブリのホモトピー圏は、有効トポスにおけるモダスト集合の圏と同値か？
• RQ5 このモデルを有効トポス全体に拡張できるか？もし可能なら、その方法は何か？

主な発見

• このモデルにおける一様に空でない対象は、コンパクト対象として同定され、定数写像へのホモトピーをもつことを意味する。
• 有効トポスにおける離散的対象は、構築されたモデル構造においてファイブレーション的である。
• 離散的反射の単位はホモトピー同値であるため、離散的対象がホモトピー的に代表的であることが示される。
• ファイブレーション的アセンブリのホモトピー圏は、有効トポスにおけるモダスト集合の圏と同値である。
• パス対象関手 P(X) は、ファイブレーション的アセンブリ X に対して内部パス空間 X^I とホモトピー同値である。
• このモデルはΠ-型における関数の拡張性を支持しており、関数の点ごとの等価性が型理論的意味での等価性を意味することを示している。