[論文レビュー] Lifts of Hilbert modular forms and application to modularity of abelian varieties

Clifton Cunningham, Lassina Dembélé|arXiv (Cornell University)|May 8, 2017

Advanced Algebra and Geometry参考文献 25被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、ヒルベルトモジュラー形式の上昇と、関連するガロア表現が自動形式から生じることの証明により、完全実数体上のアーベル多様体のモジュラー性を確立する。基本拡大を用いた上昇、モジュラー性上昇定理、セール予想を用いて、アーベル多様体に付随するガロア表現がモジュラーであることを示し、多様体に関連するヒルベルト自動形式表現の存在を導く。

ABSTRACT

In this paper, we prove the existence of certain lifts of Hilbert cusp forms to general odd spin groups. We then use those lifts to provide evidence for a conjecture of Gross on the modularity of abelian varieties not of ${ m GL}_2$-type.

研究の動機と目的

• ガロア表現の自動形式的上昇を用いて、完全実数体上のアーベル多様体のモジュラー性を確立すること。
• アーベル多様体に付随するガロア表現がヒルベルト自動形式表現から生じることを示すこと。
• 完全実体に対するモジュラー性上昇定理とセール予想を適用し、関連するガロア表現のモジュラー性を導出すること。
• セール予想の仮定の下で、ガロア表現のmod λ還元の半単純化がモジュラーであることを示すこと。
• アーベル多様体に関連するヒルベルトモジュラー形式から、GSpin自動形式表現を構成すること。

提案手法

• CM拡大のガロア群の作用によるガロア表現の基本拡大を用いる。
• ガロア表現のmod λ還元の半単純化を適用し、セール予想によりそれがモジュラーであることを示す。
• [kt16] における ℓ ≥ 3 と [tho17] における ℓ = 2 に対するモジュラー性上昇定理を活用し、ガロア表現のモジュラー性を証明する。
• ガロア表現のモジュラー性を介して、アーベル多様体 A に関連するヒルベルト自動形式表現 π を構成する。
• 上昇定理 (定理 LABEL:thm:lifts) を適用し、GSpin_{2g+1}(𝔸_E) 上の GSpin 自動形式表現 Π に π を上昇させる。
• L関数の等式 L(B, s) = ∏ L(Π, s) を確立し、アーベル多様体の L関数と自動形式 L関数を結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 完全実体上のアーベル多様体に付随するガロア表現がモジュラーであることを示すことができるか？
• RQ2 アーベル多様体に付随するガロア表現のmod λ還元が、どのような条件下でモジュラーのままであるか？
• RQ3 ヒルベルトモジュラー形式をどのように GSpin 群上の自動形式表現に上昇させることができるか？
• RQ4 セール予想は、完全実体上のガロア表現のモジュラー性を確立するために果たす役割は何か？
• RQ5 ガロア表現の上昇を通じて、アーベル多様体と自動形式表現の間に対応関係が存在するか？

主な発見

• アーベル多様体 A に付随するガロア表現 ρ_{A,λ} は、すべての素数 λ に対してモジュラーである。
• ガロア表現の mod λ 還元 āρ_{A,λ}^{ss} は、完全実体 E に対してセール予想が成立するため、モジュラーである。
• ℓ ≥ 3 の場合、ρ_{A,λ} のモジュラー性は [kt16, 定理 1.1] から徴する。ℓ = 2 の場合、[tho17, 定理 6.1] から徴する。
• ガロア表現のモジュラー性を介して、アーベル多様体 A に関連するヒルベルト自動形式表現 π が存在する。
• GSpin_{2g+1}(𝔸_E) 上に L(B, s) = ∏ L(Π, s) が成り立つ GSpin 自動形式表現 Π が存在し、B の L関数と自動形式 L関数を結びつける。
• 構成により、アーベル多様体 B が自動形式的上昇プロセスを通じてモジュラーであることが確認される。